Inégalités logarithmiques
Dans les leçons précédentes, nous nous sommes familiarisés avec les équations logarithmiques et maintenant nous savons ce qu'elles sont et comment les résoudre. La leçon d'aujourd'hui sera consacrée à l'étude des inégalités logarithmiques. Quelles sont ces inégalités et quelle est la différence entre résoudre une équation logarithmique et une inégalité ?
Les inégalités logarithmiques sont des inégalités dont une variable apparaît sous le signe du logarithme ou à sa base.
Ou bien, on peut aussi dire qu'une inégalité logarithmique est une inégalité dans laquelle sa valeur inconnue, comme dans une équation logarithmique, apparaîtra sous le signe du logarithme.
Les inégalités logarithmiques les plus simples ont la forme suivante :
où f(x) et g(x) sont des expressions qui dépendent de x.
Regardons cela en utilisant cet exemple : f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.
Résoudre les inégalités logarithmiques
Avant de résoudre les inégalités logarithmiques, il convient de noter que lorsqu'elles sont résolues, elles sont similaires aux inégalités exponentielles, à savoir :
Premièrement, lorsque nous passons des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, nous devons également comparer la base du logarithme avec une seule ;
Deuxièmement, lors de la résolution d’une inégalité logarithmique à l’aide d’un changement de variables, nous devons résoudre les inégalités par rapport au changement jusqu’à obtenir l’inégalité la plus simple.
Mais vous et moi avons examiné des aspects similaires de la résolution des inégalités logarithmiques. Faisons maintenant attention à une différence assez significative. Vous et moi savons que la fonction logarithmique a un domaine de définition limité, par conséquent, lorsque nous passons des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, nous devons prendre en compte la plage de valeurs admissibles (ADV).
Autrement dit, il convient de garder à l'esprit que lors de la résolution d'une équation logarithmique, vous et moi pouvons d'abord trouver les racines de l'équation, puis vérifier cette solution. Mais résoudre une inégalité logarithmique ne fonctionnera pas de cette façon, puisque lors du passage des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, il faudra écrire l'ODZ de l'inégalité.
De plus, il convient de rappeler que la théorie des inégalités se compose de nombres réels, qui sont des nombres positifs et négatifs, ainsi que du nombre 0.
Par exemple, lorsque le nombre « a » est positif, alors vous devez utiliser la notation suivante : a >0. Dans ce cas, la somme et le produit de ces nombres seront également positifs.
Le principe principal pour résoudre une inégalité est de la remplacer par une inégalité plus simple, mais l’essentiel est qu’elle soit équivalente à celle donnée. De plus, nous avons également obtenu une inégalité et l'avons à nouveau remplacée par une autre qui a une forme plus simple, etc.
Lorsque vous résolvez des inégalités avec une variable, vous devez trouver toutes ses solutions. Si deux inégalités ont la même variable x, alors ces inégalités sont équivalentes, à condition que leurs solutions coïncident.
Lorsque vous effectuez des tâches de résolution d'inégalités logarithmiques, vous devez vous rappeler que lorsque a > 1, alors la fonction logarithmique augmente et lorsque 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
Méthodes de résolution des inégalités logarithmiques
Examinons maintenant certaines des méthodes utilisées pour résoudre les inégalités logarithmiques. Pour une meilleure compréhension et assimilation, nous tenterons de les comprendre à l’aide d’exemples précis.
Nous savons tous que l’inégalité logarithmique la plus simple a la forme suivante :
Dans cette inégalité, V – est l’un des signes d’inégalité suivants :<,>, ≤ ou ≥.
Lorsque la base d'un logarithme donné est supérieure à un (a>1), faisant le passage des logarithmes aux expressions sous le signe du logarithme, alors dans cette version le signe de l'inégalité est conservé, et l'inégalité aura la forme suivante :
ce qui est équivalent à ce système :
\(\enregistrer\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
Écrivons l'ODZ. |
ODZ : \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
Nous ouvrons les supports et apportons . |
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
On multiplie l'inégalité par \(-1\), sans oublier d'inverser le signe de comparaison. |
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
Construisons une droite numérique et marquons les points \(\frac(7)(3)\) et \(\frac(3)(2)\) dessus. Veuillez noter que le point est supprimé du dénominateur, malgré le fait que l'inégalité ne soit pas stricte. Le fait est que ce point ne sera pas une solution, puisque substitué à l’inégalité, il nous conduira à la division par zéro. |
|
Maintenant, nous traçons l'ODZ sur le même axe numérique et notons en réponse l'intervalle qui tombe dans l'ODZ. |
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Nous écrivons la réponse finale. |
Exemple . Résoudre l'inégalité : \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
Solution:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Écrivons l'ODZ. |
ODZ : \(x>0\) |
Passons à la solution. |
Solution : \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
Nous avons ici une inégalité logarithmique carrée typique. Faisons-le. |
\(t=\log_3x\) |
Nous développons le côté gauche de l’inégalité en . |
\(D=1+8=9\) |
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Nous devons maintenant revenir à la variable d'origine - x. Pour ce faire, allons à , qui a la même solution, et effectuons la substitution inverse. |
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\(\left[ \begin(rassemblé) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
Transformez \(2=\log_39\), \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
\(\left[ \begin(rassemblé) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Passons à la comparaison des arguments. Les bases des logarithmes sont supérieures à \(1\), donc le signe des inégalités ne change pas. |
\(\left[ \begin(rassemblé) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
Combinons la solution de l'inégalité et de l'ODZ en une seule figure. |
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Écrivons la réponse. |
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