Analītiskā ģeometrija plaknē - Minorskis V.P. Ierobežojumu teorija un nepārtrauktība bezgalīgi lieli daudzumi

Lai x ir sakārtots mainīgais (piemēram, skaitļu virkne).

Definīcija.

Pastāvīgs skaitlisasauc par mainīgā x robežu, ja kāds ir patvaļīgi mazs pozitīvs skaitlis mēs to neņēmām, jūs varat norādīt mainīgā x vērtību tā, lai visas nākamās mainīgā vērtības apmierinās nevienlīdzību x-A .

Simboliski tas ir rakstīts xa vai limx=a (no latīņu limes — robeža).

Ģeometriskišī definīcija nozīmē, ka neatkarīgi no tā, kādu mazo  - punkta a apkārtni mēs ņemam, visas nākamās x vērtības pēc noteikta punkta atradīsies šajā apkārtnē.

No zīmējuma ir skaidrs, ka nevienlīdzība
nozīmē, ka attālums no punkta x līdz a ir mazāks par . Un tas ir apkārtnes interjers. Punkts x acīmredzami apmierina arī dubulto nevienādību a- un tie ir līdzvērtīgi.

PAR definīcija: Skaitļu secībai (x n) a ir robeža, ja
jūs varat norādīt tādu skaitliN, ka visiem

Secības dalībniekiem visas vērtības x N , x N +1 un tālāk atrodas iekšpusē - apkārtne ir obligāta.

Mainīgo x, kura vērtības veido skaitlisko secību x 1,x 2,…,x n, bieži raksta kā secības x=x n vai (x n) dalībnieku. Piemēram, (1/n). Šis ir mainīgs lielums vai secība ar kopīgu terminu x n =1/n: 1,1/2,1/3…

Piemērs: Ļaujiet mainīgajam x ņemt secīgas vērtības: x 1 =2/1, x 2 =3/2, x 3 =4/3, …,x n =(n+1)/n,… t.i. veido skaitļu secību. Pierādīsim to
.

Ņemsim
.


. Tiklīdz numurs kļūst
, mēs to uztversim kā N. Tad nevienlīdzība saglabāsies
. Bet tad viss ir pierādīts.

1. teorēma: konstantas vērtības robeža ir vienāda ar šo konstanti. Pierādījums: Konstanta vērtība ir īpašs mainīgā gadījums - visas tā vērtības =c: x=c/ Bet tad limc=c.

2. teorēma: Mainīgajam x nevar būt divi ierobežojumi.

Pierādījums: Pieņemsim, ka limx=a un limx=b. Tad

Un
pēc kāda valuex. Bet tad

Jo patvaļīgi mazs, tad nevienlīdzība iespējama tikai tad, kad a=b

Piezīme: Mainīgajam var nebūt ierobežojuma: x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1. Attālums līdz jebkuram punktam a no tā vērtībām –1,+1 nedrīkst būt mazāks par 1/2
(-1) n nav ierobežojumu.

Mēs uzskatījām, ka a ir skaitlis. Taču mainīgajam x var būt arī tendence uz bezgalību.

Definīcija: Mainīgajam x ir tendence uz bezgalību, ja for
sākot no noteiktas vērtības x svars, atlikušās vērtības apmierina nevienlīdzību
. Variablex mēdz
, ja pie tādiem pašiem nosacījumiem nevienādība x>M un k - , ja pie tādiem pašiem nosacījumiem nevienādība x<-M. Если переменная X стремится к бесконечности, то её называют bezgala liels un rakstiet

Piemērs: x=x n =n 2 . Ņemsim
>0. n 2 >M ir jāizpilda. n>
. Tiklīdz n apmierina šo nevienādību, tad visiem x n =n 2 nevienādība ir izpildīta. Tātad n 2
, vai drīzāk n 2
.

§3. Funkciju ierobežojums.

Pieņemsim, ka funkcijas y=f(x) argumentam x ir tendence uz x 0 vai .

Apskatīsim funkcijas y uzvedību šajos gadījumos.

Definīcija.

Lai funkcija y=f(x) ir definēta kādā punkta x 0 apkārtnē. Skaitli A sauc par funkcijas robežu xx 0, ja jebkuram , lai cik mazam, var norādīt skaitli  tā, lai uz visiem xx 0 un apmierinot nevienādību x-x 0   ir izpildīta nevienādība f (x)-A.

Ja A ir funkcijas f(x) robeža, tad viņi raksta
orf(x)A pie xx 0.

PAR Definīciju var ilustrēt šādi ģeometriski.

Ja A ir f(x) robeža xx 0, tad, ņemot jebkuru  punkta A apkārtni, mēs vienmēr varam norādīt tādu -punkta x 0 apkārtni, ka visiem x no šīs vērtības -apkārtnes. funkcijas f(x) atrodas tālāk no A ne tālāk par , t.i. iekrīt izvēlētajā punkta A -apkārtnē vai jebkurā gadījumā grafika daļa, kas atbilst punktiem x no -apkaimes, pilnībā atrodas joslā ar platumu 2.

Var redzēt, ka jo mazākam , jo mazākam  jābūt.

Definīcija.

Lai arguments x tiecas uz punktu x 0, visu laiku ņemot vērtības xx 0 xx 0 , tad skaitlis A 1 (A 2), uz kuru tiecas funkcija f(x), sauc par funkcijas f(x) robežu punktā x 0 pa labi (pa kreisi) vai ar labo roku (kreisais).

Ir rakstīts: lim x  x0+0 f(x)=A 1, (lim x  x0-0 f(x)=A 2).

Var pierādīt, ka, ja pastāv robeža lim x  x0 f(x) = A, tad šajā punktā pastāv abas vienpusējās robežas un tās ir vienādas, A 1 = A 2 = A. Pretēji: ja ir vienpusējas robežas un tās ir vienādas, tad pastāv vispārēja robeža. Ja vismaz viens neeksistē vai tie nav vienādi, tad funkcijas robeža nepastāv.

Piemērs.

Pierādīt, ka f(x)=3x-2 ir robeža pie x1, kas vienāda ar 1.

Jebkurš , х 3.

Kā  var ņemt jebkurus pozitīvus skaitļus /3; 0</3.

Viņi pierādīja, ka jebkuram  pietiek ņemt /3, lai no 0х f(x)-1, bet tas nozīmē, ka lim X  (3x-2)=1.

Definīcija.

H
Skaitli A sauc par funkcijas y=f(x) robežu x, ja jebkuram  (neatkarīgi no tā, cik mazs) var norādīt pozitīvu skaitli P tā, ka visām x vērtībām, kas atbilst nevienādība xP nevienādība  f(x)-A.

Pierakstiet lim x  f(x)=A.

Ģeometriski tas nozīmē, ka jebkuram  funkcijas grafiks xp un x-p atrodas joslā ar platumu 2.

Piemērs.

f(x)=1/x priekš x, f(x)0.

Lai kāds būtu 0, funkcijas grafiks xP un x-P atradīsies joslā ar platumu 2.

1/х, 1/х, x1/, Р=1/.

Līdzīgi definēts
f(x)=A 1 un
f(x)=A 2. Pirmajā gadījumā ir jāapmierina nevienādība f(x)-A 1  priekš xP, otrajā gadījumā f(x)-A 2  pie x-P (P0 .

Tātad,
1/x=0, un
1/x=0. Viņu vienlīdzība ļauj mums apsvērt vispārējo robežu
1/x=0.

Ļaujiet x – mainīgs daudzums. Tas nozīmē, ka vērtība x maina tā nozīmi. Ar to tas būtiski atšķiras no jebkura konstanta vērtība a, kas nemaina tā nemainīgo vērtību. Piemēram, staba augstums ir nemainīga vērtība, bet dzīva augoša koka augstums ir mainīga vērtība.

Mainīga vērtība x uzskata par dotu, ir dota skaitliskā secība

tās nozīmes. Tas ir, tās vērtības x 1 ; x 2 ;x 3 ;..., ko tā konsekventi, vienu pēc otras pieņem savā maiņas procesā. Mēs pieņemsim, ka šis process mainās pēc lieluma x tā vērtības neapstājas nevienā posmā (mainīgs X nekad nesasalst, tas ir “vienmēr dzīvs”). Tas nozīmē, ka secībai (1) ir bezgalīgs skaits vērtību, kas (1) ir atzīmētas ar elipsi.

Mainīgā lieluma vērtības var uzskatīt par dabiskā argumenta funkcijas vērtību kopu x n = f(n). Biedrs x n sauc par secības kopējo locekli. Secība tiek uzskatīta par dotu, ja ir dota metode jebkura tās elementa aprēķināšanai pēc zināmā skaitļa.

1. piemērs: ierakstiet secības pirmos desmit vārdus, ja tās kopīgais termins ir .

Risinājums: Daļas vērtības aprēķināšana, ņemot vērā vērtības n vienāds ar 1,2,3,…10, mēs iegūstam:

Parasti secība ar kopīgu terminu tiks rakstīta šādi:

Protams, rodas interese par lieluma izmaiņu raksturu x to nozīmes. Tas ir, rodas jautājums: vai šīs vērtības mainās nesistemātiski, haotiski vai kaut kā mērķtiecīgi?

Galvenā interese, protams, ir otrais variants. Proti, lai vērtības x n mainīgs x to skaitam pieaugot n tuvojas bezgalīgi ( censties) uz kādu konkrētu numuru a. Tas nozīmē, ka starpība (attālums) starp vērtībām x n mainīgs x un numurs a līgumus, tendencei pieaugot n(pie ) līdz nullei. Aizstājot vārdu “meklē” ar bultiņu, iepriekš minēto var uzrakstīt šādi:

Plkst<=>pie (2)

Ja (2) atbilst, tad mēs to sakām mainīgajam x ir tendence uz skaitli a. Šis numurs A sauca mainīgā x robeža. Un tas ir rakstīts šādi:

Lasīt: robeža x ir a(x tiecas uz a).

Aspirācijas mainīgais x līdz jūsu robežai a var skaidri ilustrēt uz skaitļu ass. Precīza šīs vēlmes matemātiskā nozīme x Uz a ir tas, ka neatkarīgi no tā, cik mazs ir pozitīvs skaitlis viens, un tāpēc neatkarīgi no tā, cik mazs ir intervāls ne arī ieskauj ciparu uz skaitļu līnijas a, šajā intervālā (tā sauktajā skaitļa apkaimē a) trāpīs, sākot no noteikta skaitļa N, visas vērtības x n mainīgs x. Jo īpaši attēlā. 1 attēlotajā numura apkārtnē a ieguva visas vērtības x n mainīgs x, sākot no numura .

Definīcija: Numurs A ko sauc par secības robežu (mainīgā lieluma robežu X vai funkcijas ierobežojums f(n)), ja kāds ir iepriekš noteikts pozitīvs skaitlis, vienmēr ir iespējams atrast šādu naturālu skaitli N, kas visiem sērijas dalībniekiem ar cipariem n>N nevienlīdzība tiks apmierināta.

Šī nevienlīdzība ir līdzvērtīga šādām divām nevienlīdzībām: . Numurs N atkarīgs no izvēlētā. Ja samazina skaitli , tad atbilstošo skaitli N palielināsies.

Secībai (vai mainīgajam X) nav obligāti jābūt limitam, bet ja ir šī robeža, tad tā ir vienīgā. Tiek izsaukta secība ar ierobežojumu saplūst. Tiek izsaukta secība, kurai nav ierobežojumu atšķiras.

Mainīga vērtība x, var censties sasniegt savu robežu dažādos veidos:

1. palikt zem jūsu limita,

2. palikt virs jūsu limita,

3. svārstās ap jūsu ierobežojumu,

4. ņemot vērtības, kas vienādas ar tās robežu.

Numura izvēle ir patvaļīga, taču, tiklīdz tas ir izvēlēts, tas vairs nedrīkst tikt mainīts.

Mainīgs x kuras robeža ir nulle (tas ir, tieksme uz nulli). bezgala mazs. Mainīgais x, aug bez ierobežojumiem absolūtajā vērtībā sauc bezgala liels(tā modulim ir tendence uz bezgalību).

Tātad, ja , tad x ir bezgalīgi mazs mainīgs lielums, un ja , tad x– bezgalīgi liels mainīgs daudzums. Jo īpaši, ja vai , tad x– bezgalīgi liels mainīgs daudzums.

Ja tad . Un otrādi, ja , Tas. No šejienes mēs iegūstam šādu svarīgu savienojumu starp mainīgo x un tā robeža a:

Jau tika teikts, ka ne katrs mainīgais x ir ierobežojums. Daudziem mainīgajiem nav ierobežojumu. Tas, vai tas pastāv, ir atkarīgs no šī mainīgā lieluma vērtību secības (1).

2. piemērs . Ļaujiet

Lūk, acīmredzot, tas ir.

3. piemērs . Ļaujiet

x- bezgalīgi mazs.

4. piemērs . Ļaujiet

Lūk, acīmredzot, tas ir. Tātad mainīgais x– bezgala liels.

5. piemērs . Ļaujiet

Šeit, acīmredzot, mainīgais x ne uz ko netiecas. Tas ir, tam nav ierobežojumu (nepastāv).

6. piemērs . Ļaujiet

Šeit ir situācija ar mainīgā lieluma robežu x nav tik acīmredzams kā iepriekšējos četros piemēros. Lai noskaidrotu šo situāciju, pārveidosim vērtības x n mainīgs x:

Acīmredzot, kad. nozīmē,

plkst.

Un tas nozīmē, ka tas ir.

7. piemērs . Ļaujiet

Šeit ir secība ( x n) mainīgās vērtības x apzīmē bezgalīgu ģeometrisku progresiju ar saucēju q. Tāpēc mainīgā lieluma robeža x ir bezgalīgas ģeometriskās progresijas robeža.

a) Ja , Tad, protams, plkst . Un tas nozīmē, ka ().

b) Ja , tad . Tas ir, šajā gadījumā mainīgās vērtības x nemainās - tie vienmēr ir vienādi ar 1. Tad arī tā robeža ir vienāda ar 1 ().

c) Ja , tad . Šajā gadījumā tas acīmredzami neeksistē.

d) Ja , tad ir bezgalīgi pieaugoša pozitīva skaitļu secība. Kas nozīmē ().

e) Ja , tad ieviešot apzīmējumu , kur , iegūstam: – mainīgu ciparu secību ar absolūtā vērtībā bezgalīgi augošiem terminiem:

Kas nozīmē mainīgo x bezgala liels. Bet tā locekļu zīmju maiņas dēļ tas netiecas ne uz +∞, ne uz –∞ (tam nav ierobežojumu).

8. piemērs. Pierādīt, ka virknei ar kopīgu terminu ir robeža, kas vienāda ar 2.

Pierādījums: Izvēlēsimies patvaļīgi pozitīvu skaitli un parādīsim, ka ir iespējams izvēlēties šādu skaitli N, kas visām skaitļa vērtībām n, lielāks par šo skaitli N, tiks apmierināta nevienlīdzība, kurā mums jāņem vērā a=2, , t.i. nevienlīdzība tiks apmierināta .

No šīs nevienlīdzības pēc iekavās esošās samazināšanas līdz kopsaucējam iegūstam . Tādējādi:. Aiz muguras NŅemsim mazāko veselo skaitli, kas pieder intervālam. Tādējādi no patvaļīgi dota pozitīva varējām noteikt tādu dabisku N ka nevienlīdzība veikts visiem numuriem n>N. Tas pierāda, ka 2 ir robeža secībai ar kopīgu terminu .

Īpaši interesanti ir monotoniskas un ierobežotas secības.

Definīcija: monotoni pieaug, ja visu priekšā n katrs tā dalībnieks ir lielāks par iepriekšējo, t.i. ja , un monotoni samazinās, ja katrs no tā noteikumiem ir mazāks par iepriekšējo, t.i. .

9. piemērs. Naturālo skaitļu secība 1,2,3,…., n,… - monotoni pieaug.

10. piemērs. Skaitļu secība, naturālu skaitļu apgrieztās vērtības, - monotoni samazinās.

Definīcija: secība tiek saukta ierobežots, ja visi tā termini atrodas ierobežotā intervālā (-M,+M) Un M>0, t.i. ja , jebkuram skaitlim n.

11. piemērs. Secība (xn), Kur x n Tur ir n skaitļa zīme aiz komata ir ierobežota, jo .

12. piemērs. Secība ir ierobežota, jo .

Mainīgo pamatīpašības un to robežas

1) Ja (mainīgs x nemaināms un vienāds ar nemainīgu a), tad ir dabiski pieņemt, ka un . Tas ir, konstantes robeža ir vienāda ar sevi:

2) Ja , un a Un b tad ir ierobežotas . Tas ir

Skaitļu secība.

Mainīgais, kas darbojas skaitļu secībā

Ja katram naturālajam skaitlim n piešķirts reāls numurs x n, t.i.

1, 2, 3, 4, …, n, …

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , …, x n , …

tad viņi saka, ka ir dota skaitļu virkne ar kopīgu terminu x n. Tālāk mēs teiksim, ka mainīgais ir dots x, kas iet cauri skaitļu virknei ar kopīgu terminu x n. Šajā gadījumā mēs apzīmēsim šo mainīgo x n. Mainīgās vērtības x n ir attēloti ar punktiem uz skaitļu ass.

Piemēram, ņemot vērā mainīgos:

: vai ;

: 1, 4, 6, …, 2n ..

Numurs A sauca mainīgā x n robeža , ja kādam patvaļīgi mazam skaitlim ε > 0 ir tāds naturāls skaitlis N x n, kura numurs n vairāk numuru N, apmierina nevienlīdzību.

Šis fakts ir simboliski uzrakstīts šādi:

Ģeometriski tas nozīmē, ka punkti, kas attēlo mainīgā vērtības x n, sabiezē, uzkrājas ap punktu A.

Ņemiet vērā: ja mainīgajam ir ierobežojums, tad tas ir vienīgais. Konstantes robeža ir pati konstante, t.i. , Ja c=konst. Mainīgajam var nebūt ierobežojumu.

Piemēram, mainīgais x n = (-1) n nav robežu, t.i. Nav neviena skaitļa, ap kuru uzkrājas mainīgā lieluma vērtības. Ģeometriski tas ir skaidrs .

Ierobežots mainīgais

Mainīgs x n sauca ierobežots , ja šāds numurs pastāv M> 0, kas | x n| < M visiem skaitļiem n.

Dots mainīgais. Kā skaitlis M jūs varat ņemt, piemēram, 3. Acīmredzot visiem skaitļiem n. Tāpēc tas ir ierobežots mainīgais.

Mainīgs x n = 2n ir neierobežots, jo skaitam pieaugot n tā vērtības palielinās, un šādu skaitli nav iespējams atrast M> 0 līdz |2 n| < M visiem skaitļiem n.

Teorēma. Ja mainīgajam ir ierobežots ierobežojums, tad tas ir ierobežots.

Apgrieztā teorēma nav patiesa.

Bezgalīgi mazi daudzumi

Mainīgs x n sauca bezgala mazs , ja tā robeža ir 0.

Piemēram, bezgalīgi mazi daudzumi ir:

Jo ;

Jo

Daudzums nav bezgalīgi mazs, tas ir ierobežots daudzums.

Galīga skaita bezgalīgi mazo lielumu summa (starpība) ir bezgalīgi mazs lielums.

Bezgalīgi maza lieluma reizinājums ar nemainīgu lielumu vai bezgalīgi mazu vai lielumu ar ierobežotu robežu ir bezgalīgi mazs lielums.

Bezgala lielos daudzumos

Mainīgs x n sauca bezgala liels , ja par kādu patvaļīgi lielu skaitu A>0, ir tāds naturāls skaitlis N, ka visas mainīgā vērtības x n, kura numurs n>N, apmierina nevienlīdzību.

Šajā gadījumā viņi raksta vai.

Piemēram, šādi mainīgie ir bezgalīgi lieli:

x n = n 2 : 1,4,9,16,…; x n = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

x n = (-1) n × n: -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

Var redzēt, ka šo mainīgo lielumu lielumi palielinās bez ierobežojumiem.

, , .

Bezgalīgi liela reizinājums ar bezgalīgi lielu vai lielumu ar ierobežojumu ir bezgalīgi liels daudzums.

Vienas zīmes bezgalīgi lielu skaitļu summa ir bezgalīgi liela.

Bezgalīgi liela apgrieztā vērtība ir bezgala mazs.

Bezgalīgi maza apgrieztā vērtība ir bezgalīgi liela.

komentēt.

Ja , A- numurs, tad viņi to saka x n Tā ir ierobežots ierobežojums.

Ja , tad viņi tā saka x n Tā ir bezgalīgs ierobežojums.

Aritmētiskās darbības ar mainīgajiem

Ja mainīgie x n Un g n ir ierobežotas robežas, tad to summai, starpībai, reizinājumam un koeficientam arī ir ierobežotas robežas, un ja un tad

(4.3)

komentēt: , c = konst.

Pastāvīgo koeficientu var ņemt aiz robežzīmes.

Funkcija

Doti divi mainīgie x Un y.

Mainīgs y sauca funkciju no mainīgā x, ja katra vērtība x no noteikta kopuma, pēc noteikta likuma, atbilst noteikta vērtība y.

Kurā x sauca neatkarīgais mainīgais vai arguments , y – atkarīgais mainīgais vai funkciju . Norāda: y = f(x) vai y=y(x).

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS IZGLĪTĪBAS UN ZINĀTNES MINISTRIJA VALSTS AUGSTĀKĀS PROFESIONĀLĀS IZGLĪTĪBAS IESTĀDE "VALSTS PĒTNIECĪBA TOMSKAS POLITEHNIKAS UNIVERSITĀTE" L.I. Samočernova AUGSTĀKĀ MATEMĀTIKA II daļa Iesaka kā mācību grāmatu Tomskas Politehniskās universitātes Redakcijas un izdevējdarbības padome 2. izdevums, pārstrādāts Tomskas Politehniskās universitātes izdevniecība 2005 UDC 514.12 C17 Samočernova L.I. C17 Augstākā matemātika. II daļa: mācību grāmata / L.I. Samo-černova; Tomskas Politehniskā universitāte. – 2. izd., red. – Tomska: Tomskas Politehniskās universitātes izdevniecība, 2005. – 164 lpp. Mācību grāmatā ir iekļautas trīs augstākās matemātikas sadaļas: 1) ievads matemātiskajā analīzē (secības un funkcijas robeža, bezgalīgi mazi un bezgalīgi lieli lielumi, bezgalīgi mazo lielumu salīdzinājums, funkcijas nepārtrauktība, pārtraukuma punkti); 2) viena mainīgā funkcijas diferenciālrēķins (funkcijas atvasinājums un diferenciālis, diferenciālrēķina pielietojumi funkciju izpētē); 3) integrāļa aprēķins (nenoteiktais integrālis, noteikts integrālis, noteikta integrāļa ģeometriskie pielietojumi). Rokasgrāmata sagatavota Lietišķās matemātikas katedrā un paredzēta ārvalstu izglītības studentiem, kuri studē jomās 080400 “Cilvēkresursu vadība”, 080200 “Vadība”, 080100 “Ekonomika”, 100700 “Tirdzniecība”. UDC 514.12 Recenzenti Fizikālo un matemātikas zinātņu kandidāts, TSU Algebras katedras asociētais profesors S.Ya. Grinšpons tehnisko zinātņu kandidāts, TUSUR Vadības sistēmu fakultātes asociētais profesors A.I. Kočegurovs © Tomskas Politehniskā universitāte, 2005 © Samochernova L.I., 2005 © Design. Tomskas Politehniskās universitātes izdevniecība, 2005 2 1. IEVADS MATEMĀTISKAJĀ ANALĪZĒ 1.1. Skaitliskā secība un tās robeža Definīcija 1. Ja saskaņā ar kādu likumu katrs naturāls skaitlis n ir saistīts ar precīzi definētu skaitli xn, tad sakām, ka ir dota skaitliskā secība (xn): x1,x2, x3,. ..,xn,.. (1.1) Citiem vārdiem sakot, skaitļu virkne ir dabiska argumenta funkcija: xn = f(n). Skaitļus, kas veido secību, sauc par tās terminiem, un xn ir secības parastais jeb n-tais vārds. Skaitļu secības piemērs: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... Šai secībai x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x n = 2n ir kopīgs loceklis pāra skaitļu secība. n Piemērs 1. Zinot virknes xn = vispārīgo terminu, ierakstiet n+2 tās pirmos piecus vārdus. Risinājums. Piešķirot n vērtības 1, 2, 3, 4, 5, mēs iegūstam 1 2 3 4 5 x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = ; x5 = . 3 4 5 6 7 n Kopumā secība ar kopīgu vārdu xn = tiks uzrakstīta šādi: n+2 1 2 3 4 n ,...,... 3 4 5 6 n+2 Ņemiet vērā, ka kopš xn =f(n) ir funkcija, tas ir, vispārīgi runājot, mainīgs lielums, tad ērtības labad mēs funkciju xn bieži sauksim par mainīgu lielumu vai vienkārši par mainīgo xn. Ierobežotas un neierobežotas sekvences Definīcija 2. Secību (xn) sauc par ierobežotu no augšas (no apakšas), ja ir tāds reāls skaitlis M (skaitlis m), ka katrs sekvences (xn) elements xn apmierina nevienādību xn ≤ M ( xn ≥ m). Šajā gadījumā skaitli M (skaitlis m) sauc par secības (xn) augšējo robežu (apakšējo robežu), un nevienādību xn ≤ M (xn ≥ m) sauc par nosacījumu, lai secība būtu ierobežota no augšas. (no apakšas). 3 Definīcija 3. Secību sauc par ierobežotu no abām pusēm vai vienkārši ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan augšā, gan zemāk, tas ir, ja ir tādi skaitļi m un M, ka jebkurš šīs secības elements xn apmierina nevienādības: m ≤ xn ≤ M. Ja secība (xn) ir ierobežota un M un m ir tās augšējā un apakšējā robeža, tad visi šīs secības elementi apmierina nevienādību xn ≤ A, (1.2), kur A ir divu skaitļu maksimālais skaits |M| un |m|. Un otrādi, ja visi secības (xn) elementi apmierina nevienādību (1.2), tad spēkā ir arī nevienādības − A ≤ xn ≤ A un tāpēc secība (xn) ir ierobežota. Tādējādi nevienlīdzība (1.2) ir vēl viena secības ierobežojuma nosacījuma forma. Noskaidrosim neierobežotas secības jēdzienu. Secību (xn) sauc par neierobežotu, ja jebkuram pozitīvam skaitlim A ir šīs secības elements xn, kas apmierina nevienādību xn > A. 2n Piemēri: 1. Secība ar kopīgu terminu xn = (− 1)n sin 3n n +1 ir ierobežota, jo visiem n nevienādība 2n 2n xn = (− 1)n ⋅ ⋅ sin 3n ≤< 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn >xn +1), tad secību (xn) sauc par pieaugošu (samazinošu). Pieaugošās un samazinošās secības sauc arī par stingri monotoniskām. 2. piemērs. Nepāra skaitļu 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ... secība, kur xn = 2n − 1, monotoni pieaug. 4 Patiešām, xn +1 − xn = − (2n − 1) = 2, tātad xn +1 − xn > 0, t.i., xn +1 > xn visiem n. Secības robeža Definēsim vienu no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem - secības robežu vai, kas ir tas pats, robežu mainīgajam xn, kas iet cauri secībai x1,x2,...,xn, ... Definīcija 5. Konstantu skaitli a sauc par limita secību x1,x2 ,...,xn ,... vai mainīgā xn robežu, ja jebkuram patvaļīgi mazam pozitīvam skaitlim ε var norādīt naturālu skaitli N tā, ka visiem virknes dalībniekiem ar skaitļiem n>N jūs - nevienādība xn − a ir izpildīta< ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n >Tiks izpildīta N nevienādība (1.3), kurā jāņem a =1; n xn = , tas ir, nevienādība n +1 n 1−< ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 >1/ε, n > 1/ε–1. Līdz ar to N var uzskatīt par lielāko veselo skaitli, kas ietverts (1/ε – 1), tas ir, E(1/ε – 1). Tad nevienādība (1.4) būs apmierināta visiem n >N. Ja izrādās, ka E(1/ε – 1) ≤ 0, tad N var pieņemt vienādu ar 1. Tā kā ε tika pieņemts patvaļīgi, tas pierāda, ka 1 ir robeža secībai ar kopīgu terminu xn = n /( n + 1) . Jo īpaši, ja ε = 0,01, tad N = E (1 / 0,01 - 1) = E (100 - 1) = 99; ja ε=1/2, tad N=E (1 / 0.5 − 1)=1 utt. Šādā veidā izvēlētais N dažādām ε vērtībām būs mazākais iespējamais. Skaitļu virknes robežas ģeometriskā interpretācija Skaitļu secību (1.1) var uzskatīt par punktu secību uz taisnes. Tādā pašā veidā mēs varam runāt par robežu kā punktu uz līnijas. Tā kā nevienādība xn − a< ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n >N iekritīs dotajā apkārtnē. Attēlosim skaitļus a, a – ε, a + ε un mainīgā xn vērtības kā punktus uz skaitļa ass (1. att.). Nevienādības (1.3) izpilde pie nosacījuma n > N ģeometriski nozīmē, ka visi punkti xn, sākot no punkta x N +1, tas ir, no punkta, kura indekss pārsniedz kādu naturālu skaitli N, noteikti atradīsies ε- apkārtnes punkti a. Ārpus šīs apkārtnes, pat ja ir punkti xn, to būs tikai ierobežots skaits. Rīsi. 1 Monotonas secības konverģences tests 1. teorēma. Katrai no apakšas (no augšas) ierobežotai nepalielinošai (nesamazējošai) secībai (xn) vai mainīgajam xn ir robeža. 6 1.2. Bezgalīgi mazi un bezgala lieli lielumi Definīcija 1. Mainīgo xn sauc par bezgalīgi mazu, ja tā robeža ir vienāda ar nulli. Pēc robežas definīcijas varam teikt, ka xn būs bezgalīgi mazs, ja jebkuram patvaļīgi mazam ε > 0 ir N tāds, ka visiem n > N nevienādība xn< ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε >0. Bezgalīgi maza lieluma piemēri ir mainīgie 1 1 (−1) n xn = , xn = − , xn = , xn = q n q.< 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε >0. No nevienādības xn = =< ε полу- n n чаем n >1/ε. Ja ņemam N = E(1/ε), tad n > N mums būs xn< ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Определение 2. Переменная величина xn называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль- шого числа M >0 mēs varam norādīt naturālu skaitli N tā, ka visiem skaitļiem n > N pastāv nevienādība xn > M Citiem vārdiem sakot, mainīgo xn sauc par bezgalīgi lielu, ja, sākot no noteikta skaitļa, tas kļūst un paliek visiem nākamajiem skaitļiem. absolūtā vērtībā ir lielākas par jebkuru iepriekš noteiktu pozitīvu skaitli M. Tiek uzskatīts, ka bezgalīgi lielam mainīgajam xn ir tendence uz bezgalību vai tam ir bezgalīga robeža, un tie raksta: xn → ∞ vai lim xn = ∞. n →∞ n →∞ 7 Saistībā ar jauna jēdziena - "bezgalīgā robeža" - ieviešanu mēs piekrītam saukt robežu iepriekš definētā nozīmē par ierobežotu robežu. 2. piemērs. Lielums xn = (− 1)n ⋅ n, secīgi ņemot vērtības -1, 2, -3, 4, -5, ..., (− 1)n n, K ir bezgalīgi liels. Patiešām, xn = (− 1)n n = n . No šejienes ir skaidrs, ka neatkarīgi no skaitļa M visiem n, sākot no dažiem, būs xn = n > M, tas ir, lim xn = ∞. n →∞ Definīcija 3. Mainīgo lielumu xn sauc par pozitīvu bezgalīgi lielu lielumu, ja jebkuram skaitlim M var norādīt naturālu skaitli N tā, ka visiem skaitļiem n > N ir spēkā nevienādība xn > M Daudzumam xn ir tendence uz plus bezgalību un simboliski to uzrakstīt šādi: xn → +∞ vai lim xn = +∞. n→∞ n →∞ Definīcija 4. Mainīgo xn sauc par negatīvu bezgala lielu daudzumu, ja jebkuram skaitlim M var norādīt naturālu skaitli N tā, ka uz visiem n > N pastāv nevienādība xn<М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М > 0) ar centru koordinātu sākumā punkts xn, kas attēlo bezgalīgi liela daudzuma vērtības, ar pietiekami lielu skaitli n atradīsies ārpus norādītā segmenta un ar turpmāku n pieaugumu paliks ārpus tā ( 2. att.). Turklāt, ja xn ir pozitīvs (negatīvs) bezgalīgi liels daudzums, tad punkts, kas attēlo tā vērtības, būs pietiekami lieliem skaitļiem n ārpus noteiktā segmenta sākuma labajā (kreisajā) pusē. Rīsi. 2 8 2. piezīme. 1. Simboli ∞, + ∞, − ∞ nav skaitļi, bet tiek ieviesti tikai, lai vienkāršotu pierakstu un īsi izteiktu faktu, ka mainīgais ir bezgalīgi liels, pozitīvs bezgalīgi liels un negatīvs bezgalīgi liels. Noteikti jāatceras, ka ar šiem simboliem nevar veikt nekādas aritmētiskas darbības! 2. Nevar sajaukt nemainīgu ļoti lielu skaitli ar bezgala lielu vērtību. Sakarība starp bezgalīgi lieliem un bezgalīgi maziem lielumiem Teorēma 1. Pieņemsim xn ≠0 (jebkuram n). Ja xn ir bezgalīgi liels, tad yn = 1 / xn ir bezgalīgi mazs; ja xn ir bezgalīgi mazs, tad yn = 1 / xn ir bezgalīgi liels. 1.3. Aritmētiskās darbības ar mainīgiem lielumiem. Pamatteorēmas par mainīgo (secību) robežām Ieviesīsim aritmētisko darbību jēdzienu ar mainīgajiem. Pieņemsim divus mainīgos lielumus xn un yn, ņemot attiecīgi šādas vērtības: x1, x2, x3, ..., xn, ..., y1, y2, y3, ..., yn, .... Divu doto mainīgo xn un yn summa tiek saprasta kā mainīgais lielums, kura katra vērtība ir vienāda ar mainīgo xn un yn atbilstošo (ar vienādiem skaitļiem) vērtību summu, tas ir, mainīgo, kas ņem vērtību secība x1 + y1, x2 + y2, K, xn + yn , K Šo mainīgo apzīmēsim ar xn + yn . Līdzīgi nosaka jebkura skaita mainīgo summu, to reizinājumu, kā arī divu mainīgo starpību un to koeficientu. Tādējādi rodas jauni mainīgie: xn + y n, xn − y n, xn ⋅ y n un x n / y n. (Pēdējā gadījumā tiek pieņemts, ka vismaz no kāda skaitļa yn ≠0, un koeficients xn / yn tiek ņemts vērā tikai šādiem skaitļiem). Līdzīgi šīs definīcijas ir formulētas secību izteiksmē. 9 Teorēmas par mainīgo robežām Teorēma 1. Mainīgajam xn var būt tikai viena robeža. Pastāv saikne starp mainīgajiem lielumiem, kuriem ir ierobežojums, un bezgalīgi maziem daudzumiem. 2. teorēma. Mainīgu lielumu, kuram ir robeža, var attēlot kā tā robežas un kāda bezgalīgi maza lieluma summu. 3. teorēma (pretēji 2. teorēmai). Ja mainīgo xn var attēlot kā divu terminu summu xn = a + α n, (1.5), kur a ir noteikts skaitlis un α n ir bezgalīgi mazs, tad a ir mainīgā xn robeža. 4. teorēma. Ja mainīgajam xn ir ierobežota robeža, tad tas ir ierobežots. Sekas. Bezgalīgi mazs mainīgais ir ierobežots. Lemma 1. Jebkuru (bet ierobežotu) bezgalīgi mazu daudzumu algebriskā summa arī ir bezgalīgi mazs lielums. 2. lemma. Ierobežota mainīgā xn un bezgalīgi maza α n reizinājums ir bezgalīgi mazs lielums. Secinājums 1. Jebkura ierobežota bezgalīgi mazu daudzumu reizinājums ir bezgalīgi mazs lielums. Secinājums 2. Konstanta daudzuma un bezgalīgi maza daudzuma reizinājums ir bezgalīgi mazs lielums. Secinājums 3. Mainīga lieluma, kas tiecas uz robežu, un bezgalīgi maza daudzuma reizinājums ir bezgalīgi mazs lielums. Izmantojot 1. un 2. lemmas, mēs varam pierādīt šādas teorēmas par robežām. 5. teorēma. Ja mainīgajiem xn un yn ir ierobežotas robežas, tad arī to summai, starpībai, reizinājumam ir galīgas robežas, un: 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→ ∞ 2) lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ Piezīme 1. Šī teorēma ir patiesa jebkuram fiksētam terminu un faktoru skaitam. Sekas. Konstanto koeficientu var ņemt aiz robežas zīmes, t.i., lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ kur c ir kāda konstante. 6. teorēma. Ja mainīgajiem xn un yn ir ierobežotas robežas un yn ≠0, lim yn ≠ 0, tad arī šo mainīgo koeficientam ir robeža, un n →∞ 10