Actions avec des fractions. Soustraction Addition et soustraction de fractions mixtes

Classe: 5

Présentation de la leçon

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Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si ce travail vous intéresse, veuillez télécharger la version complète.

Objectifs de la leçon:

Éducatif:

• systématiser les connaissances sur les fractions ordinaires;
• répéter les règles d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs similaires ;
• répétez les règles d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs différents.

Éducatif:

• développer l'attention, la parole, la mémoire, la pensée logique, l'indépendance.

Éducatif:

• cultiver le désir d'atteindre l'objectif ; confiance en soi, capacité à travailler en équipe.

Savoir: règles pour additionner et soustraire des fractions avec des dénominateurs semblables et différents.

Type de cours : leçon de généralisation et de systématisation des connaissances.

Équipement:écran, multimédia, présentation « Addition et soustraction de fractions ordinaires » (Annexe 1), maquette d'une fraction ordinaire (Figure 1) ; un formulaire avec un test, un tableau de réponses (Figure 2), des émoticônes de réflexion (Figure 3), un sapin de Noël dessiné (Figure 4).

Non.	Étape de la leçon	Temps	Tâches de scène
1.	Organisation du temps.	3 minutes.	Préparez les élèves pour la leçon.
2.	Actualisation des connaissances. Répétition du matériel couvert.	10 minutes.	Révisez les fractions propres et impropres, en réduisant les fractions, en amenant les fractions à un nouveau dénominateur, en mettant en évidence la partie entière.
3.	Appliquer les règles d’addition et de soustraction de fractions communes ayant les mêmes dénominateurs.	10 minutes.	Révisez l’addition et la soustraction de fractions communes ayant les mêmes dénominateurs.
4.	Minute d'éducation physique.	3 minutes.	Soulager la fatigue de l'enfant, assurer un repos actif et augmenter les performances mentales des élèves.
5.	Appliquer les règles d'addition et de soustraction de fractions communes de dénominateurs différents.	13 minutes.	Révisez l’addition et la soustraction de fractions communes avec différents dénominateurs.
6.	Devoirs.	2 minutes.	Enseignement des devoirs.
7.	Résumé de la leçon.	4 minutes.	En résumé. Classement. Réflexion.

Pendant les cours

1). Organisation du temps.

- "Ajouter et soustraire des fractions ordinaires."

Il est proposé de formuler les buts et objectifs de la leçon ; lors de la discussion, ils sont formulés (l'enseignant peut les écrire au tableau).

2). Actualisation des connaissances. Répétition du matériel couvert. (Diapositive n°1).

a) Aujourd'hui, nous commencerons la leçon par une vente aux enchères. Il n'y a qu'un seul lot disponible : "fraction commune" (Image 1). Rappelons ce que nous savons sur les fractions ordinaires :

Numérateur;

Dénominateur;

Barre fractionnaire - division ;

Sur b on divise les parties, on prend UN de telles pièces ;

Correct;

Incorrect;

Sélectionnez une partie entière ;

Réduire;

Réduire à un nouveau dénominateur ;

Exemples.

Celui qui a parlé en dernier d'une fraction commune obtient un modèle d'une fraction commune.

b) Consolidons nos connaissances en passant le test(formulaire de réponse, tâche n°1, diapositive n°2).

TEST

1. Trouvez la bonne fraction :

UN); B) ; DANS) .

2. Trouvez la fraction impropre :

UN); B) ; DANS) .

3. Réduisez la fraction :

UN); B) ; DANS) .

4. Réduisez la fraction au dénominateur 28 :

UN); B) ; DANS) .

5. Sélectionnez la pièce entière :

UN); B) ; DANS) .

Les réponses sont inscrites dans le tableau.

1	2	3	4	5

Résumer:

• 5 "+" marque 5,
• 4 "+" marque 4,
• 3 repère "+" 3.

3).Appliquer les règles d’addition et de soustraction de fractions ordinaires de dénominateurs similaires.

Quelles fractions ordinaires pouvons-nous ajouter ?

Fractions avec des dénominateurs semblables et différents (diapositive numéro 3).

Répétons en ajoutant des fractions avec les mêmes dénominateurs.

Pour additionner deux fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé.

Pour soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur du petit bout du numérateur du petit bout et laisser le dénominateur inchangé.

Consolidons les connaissances dans la pratique.

Il est demandé aux étudiants de calculer les exemples oralement et de noter les réponses sur la feuille de réponses de la tâche n°2.

Échangez des cahiers et effectuez des contrôles mutuels.

Résumer:

• 9-8 "+" marque 5,
• 7-6 "+" marque 4,
• 5 repère "+" 3.

4). Minute d'éducation physique.

5). Appliquer les règles d'addition et de soustraction de fractions communes de dénominateurs différents.

Nous avons ajouté des fractions avec les mêmes dénominateurs. Que faut-il faire pour additionner des fractions ordinaires avec des dénominateurs différents ?(diapositive numéro 4).

Pour additionner et soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez réduire les fractions à un dénominateur commun en trouvant des facteurs supplémentaires. Effectuez l'addition et la soustraction de fractions ordinaires avec les mêmes dénominateurs.

Contenu de la leçon

Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires

Il existe deux types d'addition de fractions :

1. Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
2. Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :

Exemple 2. Ajoutez des fractions et .

La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux égale un :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajoutez des fractions et .

Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza et ajoutez plus de pizza, vous obtenez 1 pizza entière et une pizza supplémentaire.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.

L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, des fractions ayant des dénominateurs différents se transforment en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Additionnons les fractions et

Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).

Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. Dans les établissements d’enseignement, il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions données ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires

On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :

L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière

Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :

Nous avons reçu une réponse

Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fractions :

1. Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.

Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1. Trouvez le sens de l’expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).

Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :

Nous sommes maintenant tous prêts pour la soustraction. Il ne reste plus qu'à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Nous avons reçu une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza

Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :

La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).

Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au-dessus de la deuxième fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il ne reste plus qu'à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Ce qui peut être fait? Vous pouvez raccourcir cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.

On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10

Nous avons reçu une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur inchangé.

Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.

Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza

Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :

Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la fraction par 4

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières

Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :

Le nombre multiplié par la fraction et le dénominateur de la fraction sont résolus s'ils ont un facteur commun supérieur à un.

Par exemple, une expression peut être évaluée de deux manières.

Première façon. Multipliez le nombre 4 par le numérateur de la fraction et laissez le dénominateur de la fraction inchangé :

Deuxième façon. Le quatre étant multiplié et le quatre au dénominateur de la fraction peut être réduit. Ces quatre peuvent être réduits de 4, puisque le plus grand diviseur commun à deux quatre est le quatre lui-même :

Nous avons obtenu le même résultat 3. Après avoir réduit les quatre, de nouveaux nombres se forment à leur place : deux uns. Mais multiplier un par trois, puis diviser par un ne change rien. La solution peut donc s’écrire brièvement :

La réduction peut être effectuée même lorsque nous avons décidé d'utiliser la première méthode, mais au stade de la multiplication du nombre 4 et du numérateur 3 nous avons décidé d'utiliser la réduction :

Mais par exemple, l'expression ne peut être calculée que de la première manière - multipliez 7 par le dénominateur de la fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cela est dû au fait que le nombre 7 et le dénominateur de la fraction n'ont pas de diviseur commun supérieur à un et ne s'annulent donc pas.

Certains élèves raccourcissent par erreur le nombre à multiplier et le numérateur de la fraction. Vous ne pouvez pas faire ça. Par exemple, l'entrée suivante n'est pas correcte :

Réduire une fraction signifie que à la fois numérateur et dénominateur sera divisé par le même nombre. Dans le cas de l'expression, la division est effectuée uniquement au numérateur, car l'écrire équivaut à écrire . Nous voyons que la division s'effectue uniquement au numérateur et qu'aucune division ne se produit au dénominateur.

Multiplier des fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.

Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.

Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une moitié de pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :

Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :

Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :

En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.

Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un nombre entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :

Nombres réciproques

Nous allons maintenant nous familiariser avec un sujet très intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des "numéros inversés".

Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.

Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Autrement dit, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l'envers :

Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :

Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.

L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.

Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.

Diviser une fraction par un nombre

Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?

On peut voir qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, il y avait deux morceaux égaux, dont chacun constituait une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.

Cette leçon couvrira l'addition et la soustraction de fractions algébriques ayant les mêmes dénominateurs. Nous savons déjà comment additionner et soustraire des fractions communes ayant les mêmes dénominateurs. Il s’avère que les fractions algébriques suivent les mêmes règles. Apprendre à travailler avec des fractions ayant les mêmes dénominateurs est l’une des pierres angulaires de l’apprentissage du travail avec des fractions algébriques. En particulier, comprendre ce sujet facilitera la maîtrise d'un sujet plus complexe : l'addition et la soustraction de fractions avec différents dénominateurs. Dans le cadre de la leçon, nous étudierons les règles d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec des dénominateurs similaires, et analyserons également un certain nombre d'exemples typiques

Règle pour ajouter et soustraire des fractions algébriques avec des dénominateurs similaires

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fractions de un à vous -mi connais-moi-na-te-la-mi (cela coïncide avec la règle analogue pour les coups de feu ordinaires) : c'est pour l'addition ou le calcul des fractions al-geb-ra-i-che-skih avec un à vous connais-moi-sur-le-la-mi nécessaire -ho-di-mo-compile une al-geb-ra-i-che-somme de nombres correspondante, et le signe-moi-na-tel part sans aucun.

Nous comprenons cette règle à la fois pour l'exemple des tirages au sort ordinaires et pour l'exemple des tirages au sort al-geb-ra-i-che.

Exemples d'application de la règle pour les fractions ordinaires

Exemple 1. Ajouter des fractions : .

Solution

Additionnons le nombre de fractions et laissons le signe inchangé. Après cela, nous décomposons le nombre et le signons en multiplicités et combinaisons simples. Allons s'en approprier: .

Remarque : une erreur standard autorisée lors de la résolution d'exemples de types similaires, pour -klu-cha-et-sya dans la solution possible suivante : . C'est une grossière erreur, puisque le signe reste le même que dans les fractions originales.

Exemple 2. Ajouter des fractions : .

Solution

Celui-ci n'est en rien différent du précédent : .

Exemples d'application de la règle pour les fractions algébriques

Des battements de dro ordinaires, nous passons à al-geb-ra-i-che-skim.

Exemple 3. Ajouter des fractions : .

Solution : comme déjà mentionné ci-dessus, la composition des fractions al-geb-ra-i-che n'est en rien différente du mot identique aux combats de tir habituels. La méthode de résolution est donc la même : .

Exemple 4. Vous êtes la fraction : .

Solution

You-chi-ta-nie des fractions al-geb-ra-i-che-skih par addition uniquement par le fait que dans le nombre pi-sy-va-et-sya différence dans le nombre de fractions utilisées. C'est pourquoi .

Exemple 5. Vous êtes la fraction : .

Solution: .

Exemple 6. Simplifiez : .

Solution: .

Exemples d'application de la règle suivie d'une réduction

Dans une fraction qui a la même signification dans le résultat de la composition ou du calcul, des combinaisons sont possibles. De plus, il ne faut pas oublier l'ODZ des fractions al-geb-ra-i-che-skih.

Exemple 7. Simplifiez : .

Solution: .

Dans lequel . En général, si l'ODZ des fractions initiales coïncide avec l'ODZ du total, alors elle peut être omise (après tout, la fraction étant dans la réponse, n'existera pas non plus avec les changements significatifs correspondants). Mais si l’ODZ des fractions utilisées et la réponse ne correspondent pas, alors l’ODZ doit être indiqué.

Exemple 8. Simplifiez : .

Solution: . En même temps, y (l'ODZ des fractions initiales ne coïncide pas avec l'ODZ du résultat).

Additionner et soustraire des fractions avec différents dénominateurs

Pour ajouter et lire des fractions al-geb-ra-i-che avec différents connaissances sur le-la-mi, nous faisons ana-lo -giyu avec des fractions ordinaires-ven-ny et les transférons à al-geb -ra-i-che-fractions.

Regardons l'exemple le plus simple des fractions ordinaires.

Exemple 1. Ajouter des fractions : .

Solution:

Rappelons les règles d'addition de fractions. Pour commencer avec une fraction, il faut la ramener à un signe commun. Dans le rôle de signe général des fractions ordinaires, vous agissez multiple moins commun(NOK) premiers signes.

Définition

Le plus petit nombre, qui se divise à la fois en nombres et.

Pour trouver le NOC, vous devez décomposer les connaissances en ensembles simples, puis sélectionner tout ce qu'il y a de nombreux, qui sont inclus dans la division des deux signes.

; . Alors le LCM des nombres doit comprendre deux deux et deux trois : .

Après avoir acquis les connaissances générales, il faut pour chacune des fractions trouver une multiplicité complète résidente (en fait, verser le signe commun sur le signe de la fraction correspondante).

Ensuite, chaque fraction est multipliée par un facteur à moitié plein. Prenons quelques fractions de celles que vous connaissez, additionnons-les et lisons-les - étudiées dans les leçons précédentes.

Mangeons: .

Répondre:.

Regardons maintenant la composition des fractions al-geb-ra-i-che avec différents signes. Examinons maintenant les fractions et voyons s’il y a des nombres.

Additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs

Exemple 2. Ajouter des fractions : .

Solution:

Al-go-rythme de la décision ab-so-lyut-mais ana-lo-gi-chen à l'exemple précédent. Il est facile de prendre le signe commun des fractions données : et des multiplicateurs supplémentaires pour chacune d’elles.

.

Répondre:.

Alors formons al-go-rythme d'addition et calcul des fractions al-geb-ra-i-che-skih avec différents signes:

1. Trouvez le plus petit signe commun de la fraction.

2. Trouvez des multiplicateurs supplémentaires pour chacune des fractions (en effet, le signe commun du signe est donné -ème fraction).

3. Jusqu'à plusieurs nombres sur les multiplicités jusqu'à complètes correspondantes.

4. Ajoutez ou calculez des fractions, en utilisant les règles de composition et de calcul des fractions avec la même connaissance -me-na-te-la-mi.

Regardons maintenant un exemple avec des fractions, dans le signe desquelles se trouvent les lettres you -nia.

C'est très important même dans la vie de tous les jours. La soustraction peut souvent s'avérer utile pour compter la monnaie au magasin. Par exemple, vous avez mille (1000) roubles sur vous et vos achats s'élèvent à 870. Avant de payer, vous demanderez : « Combien de monnaie me restera-t-il ? Ainsi, 1000-870 sera 130. Et il existe de nombreux types de calculs différents, et sans maîtriser ce sujet, cela sera difficile dans la vraie vie. La soustraction est une opération arithmétique dans laquelle le deuxième nombre est soustrait du premier nombre, et le résultat est le troisième.

La formule d'addition s'exprime comme suit : a - b = c

un– Vasya avait des pommes au départ.

b– le nombre de pommes données à Petya.

c– Vasya a des pommes après le transfert.

Mettons-le dans la formule :

Soustraire des nombres

La soustraction de nombres est facile à apprendre pour tout élève de première année. Par exemple, vous devez soustraire 5 de 6. 6-5=1, 6 est supérieur au nombre 5 de un, ce qui signifie que la réponse sera un. Pour vérifier, vous pouvez ajouter 1+5=6. Si vous n'êtes pas familier avec l'addition, vous pouvez lire le nôtre.

Un grand nombre est divisé en parties, prenons le nombre 1234, et dedans : 4 unités, 3 dizaines, 2 centaines, 1 mille. Si vous soustrayez les unités, alors tout est facile et simple. Mais prenons un exemple : 14-7. Dans le nombre 14 : 1 vaut des dizaines et 4 vaut des uns. 1 dix – 10 unités. Ensuite, nous obtenons 10+4-7, faisons ceci : 10-7+4, 10 – 7 =3 et 3+4=7. La réponse a été trouvée correctement !

Prenons l'exemple 23 à 16. Le premier nombre est 2 dizaines et 3 unités, et le second est 1 dizaine et 6 unités. Imaginons le nombre 23 comme 10+10+3 et 16 comme 10+6, puis imaginons 23-16 comme 10+10+3-10-6. Alors 10-10=0, ce qui reste est 10+3-6, 10-6=4, puis 4+3=7. La réponse a été trouvée !

On fait la même chose avec des centaines et des milliers.

Soustraction de colonne

Réponse : 3411.

Soustraire des fractions

Imaginons une pastèque. Une pastèque est un tout, et si nous la coupons en deux, nous obtenons quelque chose de moins qu'un, n'est-ce pas ? Une demi-unité. Comment écrire cela ?

½, nous désignons donc la moitié d'une pastèque entière, et si nous divisons la pastèque en 4 parties égales, alors chacune d'elles sera désignée ¼. Et ainsi de suite…

soustraire des fractions, comment ça se passe ?

C'est simple. Soustrayez ¼ de 2/4. Lors de la soustraction, il est important que le dénominateur (4) d'une fraction coïncide avec le dénominateur de la seconde. (1) et (2) sont appelés numérateurs.

Alors, soustrayons. Nous nous sommes assurés que les dénominateurs étaient les mêmes. Ensuite, nous soustrayons les numérateurs (2-1)/4, nous obtenons donc 1/4.

Limites de soustraction

Soustraire des limites n’est pas difficile. Il suffit ici d'une formule simple, qui dit que si la limite de la différence des fonctions tend vers le nombre a, alors cela équivaut à la différence de ces fonctions dont la limite de chacune tend vers le nombre a.

Soustraire des nombres mixtes

Un nombre fractionnaire est un nombre entier avec une partie fractionnaire. Autrement dit, si le numérateur est inférieur au dénominateur, alors la fraction est inférieure à un, et si le numérateur est supérieur au dénominateur, alors la fraction est supérieure à un. Un nombre fractionnaire est une fraction supérieure à un et dont la partie entière est mise en évidence par un exemple :

Pour soustraire des nombres fractionnaires, il vous faut :

Réduisez les fractions à un dénominateur commun.

Ajouter la partie entière au numérateur

Effectuer le calcul

Leçon de soustraction

La soustraction est une opération arithmétique dans laquelle on cherche la différence entre deux nombres et la réponse est le troisième. La formule d'addition s'exprime comme suit : a - b = c.

Vous pouvez trouver des exemples et des tâches ci-dessous.

À soustraire des fractions il faut rappeler que :

Étant donné la fraction 7/4, on constate que 7 est supérieur à 4, ce qui signifie que 7/4 est supérieur à 1. Comment sélectionner la partie entière ? (4+3)/4, on obtient alors la somme des fractions 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Résultat : un tout, trois quarts.

Soustraction 1ère année

La première année est le début du voyage, le début de l’enseignement et de l’apprentissage des bases, y compris la soustraction. L’apprentissage doit se faire de manière ludique. En première année, les calculs commencent toujours par des exemples simples sur des pommes, des bonbons et des poires. Cette méthode n'est pas utilisée en vain, mais parce que les enfants sont beaucoup plus intéressés lorsqu'on joue avec eux. Et ce n’est pas la seule raison. Les enfants ont très souvent vu des pommes, des bonbons et autres dans leur vie et ont été confrontés au transfert et à la quantité. Il ne sera donc pas difficile d'enseigner l'addition de telles choses.

Vous pouvez proposer tout un tas de problèmes de soustraction pour les élèves de première année, par exemple :

Tache 1. Le matin, en se promenant dans la forêt, le hérisson a trouvé 4 champignons, et le soir, en rentrant à la maison, le hérisson a mangé 2 champignons pour le dîner. Combien reste-t-il de champignons ?

Tâche 2. Masha est allée au magasin pour acheter du pain. Maman a donné à Masha 10 roubles et le pain coûte 7 roubles. Combien d'argent Masha devrait-elle rapporter à la maison ?

Tâche 3. Le matin, dans le magasin, il y avait 7 kilos de fromage sur le comptoir. Avant le déjeuner, les visiteurs achetaient 5 kilos. Combien de kilos reste-t-il ?

Tâche 4. Roma a emporté les bonbons que son père lui avait donnés dans la cour. Roma avait 9 bonbons et il en a donné 4 à son ami Nikita. Combien de bonbons lui reste-t-il à Roma ?

Les élèves de première année résolvent principalement des problèmes dont la réponse est un nombre de 1 à 10.

Soustraction 2e année

La deuxième classe est déjà supérieure à la première et, par conséquent, les exemples de solutions sont également plus élevés. Alors, commençons:

Tâches numériques :

Numéros à un chiffre :

1. 10 - 5 =
2. 7 - 2 =
3. 8 - 6 =
4. 9 - 1 =
5. 9 - 3 - 4 =
6. 8 - 2 - 3 =
7. 9 - 9 - 0 =
8. 4 - 1 - 3 =

Chiffres doubles :

1. 10 - 10 =
2. 17 - 12 =
3. 19 - 7 =
4. 15 - 8 =
5. 13 - 7 =
6. 64 - 37 =
7. 55 - 53 =
8. 43 - 12 =
9. 34 - 25 =
10. 51 - 17 - 18 =
11. 47 - 12 - 19 =
12. 31 - 19 - 2 =
13. 99 - 55 - 33 =

Problèmes de mots

Soustraction niveau 3-4

L'essence de la soustraction dans les classes 3 et 4 est la soustraction en colonnes de grands nombres.

Regardons l'exemple 4312-901. Tout d’abord, écrivons les nombres les uns en dessous des autres, de sorte que sur le nombre 901, un soit inférieur à 2, 0 soit inférieur à 1, 9 soit inférieur à 3.

Ensuite on soustrait de droite à gauche, c'est-à-dire du chiffre 2 le chiffre 1. On obtient un :

En soustrayant neuf de trois, vous devez emprunter 1 dix. Autrement dit, soustrayez 1 dix de 4. 10+3-9=4.

Et puisque 4 en a pris 1, alors 4-1=3

Réponse : 3411.

Soustraction 5e année

La cinquième année est le moment de travailler sur des fractions complexes avec différents dénominateurs. Répétons les règles : 1. Les numérateurs sont soustraits, pas les dénominateurs.

Alors, soustrayons. Nous nous sommes assurés que les dénominateurs étaient les mêmes. Ensuite, nous soustrayons les numérateurs (2-1)/4, nous obtenons donc 1/4. Lors de l'addition de fractions, seuls les numérateurs sont soustraits !

2. Pour effectuer une soustraction, assurez-vous que les dénominateurs sont égaux.

Si vous rencontrez une différence entre des fractions, par exemple 1/2 et 1/3, vous devrez alors multiplier non pas une fraction, mais les deux, pour l'amener à un dénominateur commun. Le moyen le plus simple de procéder est de multiplier la première fraction par le dénominateur de la seconde, et la deuxième fraction par le dénominateur de la première, on obtient : 3/6 et 2/6. Ajoutez (3-2)/6 et obtenez 1/6.

3. La réduction d’une fraction se fait en divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre.

La fraction 2/4 peut être convertie sous la forme ½. Pourquoi? Qu'est-ce qu'une fraction ? ½ = 1:2, et si vous divisez 2 par 4, cela équivaut à diviser 1 par 2. Par conséquent, la fraction 2/4 = 1/2.

4. Si la fraction est supérieure à un, alors la partie entière peut être sélectionnée.

Étant donné la fraction 7/4, on constate que 7 est supérieur à 4, ce qui signifie que 7/4 est supérieur à 1. Comment sélectionner la partie entière ? (4+3)/4, on obtient alors la somme des fractions 4/4 + 3/4, 4:4 + 3/4=1 + 3/4. Résultat : un tout, trois quarts.

Présentation de la soustraction

Le lien vers la présentation est ci-dessous. La présentation aborde les problèmes fondamentaux de la soustraction en sixième année : Télécharger la présentation

Présentation de l'addition et de la soustraction

Exemples d'addition et de soustraction

Jeux pour développer le calcul mental

Des jeux éducatifs spéciaux développés avec la participation de scientifiques russes de Skolkovo contribueront à améliorer les compétences en calcul mental sous une forme de jeu intéressante.

Jeu "Compte rapide"

Le jeu "compte rapide" vous aidera à améliorer votre pensée. L'essence du jeu est que dans l'image qui vous est présentée, vous devrez choisir la réponse « oui » ou « non » à la question « y a-t-il 5 fruits identiques ? Suivez votre objectif et ce jeu vous y aidera.

Jeu "Matrices mathématiques"

"Matrices mathématiques" est génial exercice cérébral pour les enfants, qui vous aidera à développer son travail mental, son calcul mental, sa recherche rapide des composants nécessaires et son attention. L'essence du jeu est que le joueur doit trouver une paire parmi les 16 nombres proposés qui totaliseront un nombre donné, par exemple dans l'image ci-dessous, le nombre donné est « 29 », et la paire souhaitée est « 5 ». et « 24 ».

Jeu "Etendue des nombres"

Le jeu de nombres mettra votre mémoire au défi tout en pratiquant cet exercice.

L'essence du jeu est de mémoriser le numéro, ce qui prend environ trois secondes. Ensuite, vous devez le relire. Au fur et à mesure que vous progressez dans les étapes du jeu, le nombre de numéros augmente, en commençant par deux et plus.

Jeu "Comparaisons mathématiques"

Un jeu génial avec lequel vous pourrez détendre votre corps et tendre votre cerveau. La capture d'écran montre un exemple de ce jeu, dans lequel il y aura une question liée à l'image, et vous devrez y répondre. Le temps est limité. Dans combien de temps disposerez-vous pour répondre ?

Jeu "Devinez l'opération"

Le jeu « Devinez l'opération » développe la réflexion et la mémoire. Le point principal du jeu est de choisir un signe mathématique pour que l’égalité soit vraie. Des exemples sont donnés à l'écran, regardez attentivement et mettez le signe « + » ou « - » requis pour que l'égalité soit vraie. Les signes « + » et « - » se trouvent en bas de l'image, sélectionnez le signe souhaité et cliquez sur le bouton souhaité. Si vous avez répondu correctement, vous marquez des points et continuez à jouer.

Jeu "Simplification"

Le jeu « Simplification » développe la réflexion et la mémoire. L'essence principale du jeu est d'effectuer rapidement une opération mathématique. Un élève est dessiné sur l'écran au tableau et une opération mathématique lui est donnée ; il doit calculer cet exemple et écrire la réponse. Vous trouverez ci-dessous trois réponses, comptez et cliquez sur le nombre dont vous avez besoin à l'aide de la souris. Si vous avez répondu correctement, vous marquez des points et continuez à jouer.

Jeu de géométrie visuelle

Le jeu "Visual Geometry" développe la réflexion et la mémoire. L'essence principale du jeu est de compter rapidement le nombre d'objets ombrés et de les sélectionner dans la liste des réponses. Dans ce jeu, des carrés bleus s'affichent à l'écran pendant quelques secondes, il faut les compter rapidement, puis ils se ferment. Sous le tableau, il y a quatre nombres écrits, vous devez sélectionner un nombre correct et cliquer dessus avec la souris. Si vous avez répondu correctement, vous marquez des points et continuez à jouer.

Jeu "Tirelire"

Le jeu Piggy Bank développe la réflexion et la mémoire. L'essence principale du jeu est de choisir quelle tirelire a le plus d'argent. Dans ce jeu, il y a quatre tirelires, vous devez compter quelle tirelire a le plus d'argent et montrer cette tirelire avec la souris. Si vous avez répondu correctement, vous marquez des points et continuez à jouer.

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Cet article commence l'étude des opérations avec des fractions algébriques : nous examinerons en détail des opérations telles que l'addition et la soustraction de fractions algébriques. Analysons le schéma d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec des dénominateurs identiques et différents. Apprenons comment additionner une fraction algébrique avec un polynôme et comment les soustraire. À l’aide d’exemples spécifiques, nous expliquerons chaque étape pour trouver des solutions aux problèmes.

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Opérations d'addition et de soustraction avec des dénominateurs égaux

Le schéma d'addition de fractions ordinaires est également applicable aux fractions algébriques. Nous savons que lors de l’addition ou de la soustraction de fractions communes ayant des dénominateurs identiques, vous devez ajouter ou soustraire leurs numérateurs, mais le dénominateur reste le même.

Par exemple : 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 et 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

En conséquence, la règle d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec des dénominateurs similaires s'écrit de la même manière :

Définition 1

Pour ajouter ou soustraire des fractions algébriques avec des dénominateurs similaires, vous devez respectivement ajouter ou soustraire les numérateurs des fractions d'origine et écrire le dénominateur inchangé.

Cette règle permet de conclure que le résultat de l'addition ou de la soustraction de fractions algébriques est une nouvelle fraction algébrique (dans un cas particulier : un polynôme, un monôme ou un nombre).

Indiquons un exemple d'application de la règle formulée.

Exemple 1

Les fractions algébriques données sont : x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 et 3 - x · y x 2 · y - 2 . Il faut les ajouter.

Solution

Les fractions originales contiennent les mêmes dénominateurs. Selon la règle, nous effectuerons l'addition des numérateurs des fractions données et laisserons le dénominateur inchangé.

En additionnant les polynômes qui sont les numérateurs des fractions originales, on obtient : x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Ensuite, le montant requis s'écrira sous la forme : x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

En pratique, comme dans de nombreux cas, la solution est donnée par une chaîne d'égalités, montrant clairement toutes les étapes de la solution :

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Répondre: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Le résultat d'une addition ou d'une soustraction peut être une fraction réductible, auquel cas il est optimal de la réduire.

Exemple 2

Il faut soustraire la fraction 2 · y x 2 - 4 · y 2 de la fraction algébrique x x 2 - 4 · y 2 .

Solution

Les dénominateurs des fractions originales sont égaux. Effectuons des opérations avec les numérateurs, à savoir : soustrayons le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction, puis écrivons le résultat en laissant le dénominateur inchangé :

x x 2 - 4 oui 2 - 2 oui x 2 - 4 oui 2 = x - 2 oui x 2 - 4 oui 2

On voit que la fraction résultante est réductible. Réduisons-le en transformant le dénominateur à l'aide de la formule de différence carrée :

x - 2 oui x 2 - 4 oui 2 = x - 2 oui (x - 2 oui) (x + 2 oui) = 1 x + 2 oui

Répondre: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

En utilisant le même principe, trois fractions algébriques ou plus ayant les mêmes dénominateurs sont ajoutées ou soustraites. Par exemple:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Opérations d'addition et de soustraction avec différents dénominateurs

Regardons à nouveau le schéma d'opérations avec des fractions ordinaires : pour ajouter ou soustraire des fractions ordinaires avec des dénominateurs différents, vous devez les amener à un dénominateur commun, puis additionner les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs.

Par exemple, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 ou 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Aussi, par analogie, nous formulons la règle d'addition et de soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs :

Définition 2

Pour additionner ou soustraire des fractions algébriques de dénominateurs différents, vous devez :

• ramener les fractions originales à un dénominateur commun ;
• effectuer l'addition ou la soustraction des fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs.

De toute évidence, la clé ici sera la capacité de réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun. Regardons de plus près.

Réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun

Pour amener les fractions algébriques à un dénominateur commun, il est nécessaire d'effectuer une transformation identique des fractions données, de sorte que les dénominateurs des fractions originales deviennent les mêmes. Ici, il est optimal d'utiliser l'algorithme suivant pour réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun :

• nous déterminons d’abord le dénominateur commun des fractions algébriques ;
• puis on trouve des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions en divisant le dénominateur commun par les dénominateurs des fractions originales ;
• La dernière action consiste à multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions algébriques données par les facteurs supplémentaires correspondants.

Exemple 3

Les fractions algébriques sont données : a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a et a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Il faut les ramener à un dénominateur commun.

Solution

Nous agissons selon l'algorithme ci-dessus. Déterminons le dénominateur commun des fractions originales. Pour cela, nous factorisons les dénominateurs des fractions données : 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) et 4 une 5 − 16 une 3 = 4 une 3 (une − 2) (une + 2). De là, nous pouvons écrire le dénominateur commun : 12 une 3 (une − 2) (une + 2).

Il nous faut maintenant trouver des facteurs supplémentaires. Divisons, selon l'algorithme, le dénominateur commun trouvé en dénominateurs des fractions originales :

• pour la première fraction : 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
• pour la deuxième fraction : 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
• pour la troisième fraction : 12 une 3 (une − 2) (une + 2) : (4 une 3 (une − 2) (une + 2)) = 3 .

L'étape suivante consiste à multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions données par les facteurs supplémentaires trouvés :

une + 2 2 une 3 - 4 une 2 = (une + 2) 6 une (une + 2) (2 une 3 - 4 une 2) 6 une (une + 2) = 6 une (une + 2) 2 12 une 3 (une - 2) (une + 2) une + 3 3 une 2 - 6 une = (une + 3) 4 une 2 ( une + 2) 3 une 2 - 6 une 4 une 2 (une + 2) = 4 une 2 (une + 3) (une + 2) 12 une 3 (une - 2) · (une + 2) une + 1 4 · une 5 - 16 · une 3 = (une + 1) · 3 (4 · une 5 - 16 · une 3) · 3 = 3 · (une + 1) 12 · une 3 (une - 2) (une + 2)

Répondre: une + 2 2 · une 3 - 4 · une 2 = 6 · une · (une + 2) 2 12 · une 3 · (une - 2) · (une + 2) ; une + 3 3 · une 2 - 6 · une = 4 · une 2 · (une + 3) · (une + 2) 12 · une 3 · (une - 2) · (une + 2) ; une + 1 4 · une 5 - 16 · une 3 = 3 · (une + 1) 12 · une 3 · (une - 2) · (une + 2) .

Nous avons donc réduit les fractions originales à un dénominateur commun. Si nécessaire, vous pouvez convertir davantage le résultat obtenu sous forme de fractions algébriques en multipliant les polynômes et les monômes par les numérateurs et les dénominateurs.

Précisons également ce point : il est optimal de laisser le dénominateur commun trouvé sous la forme d'un produit au cas où il serait nécessaire de réduire la fraction finale.

Nous avons examiné en détail le schéma de réduction des fractions algébriques initiales à un dénominateur commun ; nous pouvons maintenant commencer à analyser des exemples d'addition et de soustraction de fractions avec différents dénominateurs ;

Exemple 4

Les fractions algébriques données sont : 1 - 2 x x 2 + x et 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Il est nécessaire de réaliser l'action de leur ajout.

Solution

Les fractions originales ont des dénominateurs différents, la première étape consiste donc à les amener à un dénominateur commun. On factorise les dénominateurs : x 2 + x = x · (x + 1) , et x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) , parce que racines d'un trinôme carré x 2 + 3 x + 2 ces nombres sont : - 1 et - 2. Nous déterminons le dénominateur commun : x (x + 1) (x + 2), alors les facteurs supplémentaires seront : x+2 Et -X pour les première et deuxième fractions, respectivement.

Ainsi : 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) et 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Ajoutons maintenant les fractions que nous avons ramenées à un dénominateur commun :

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

La fraction résultante peut être réduite d'un facteur commun x+1 :

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

Et, enfin, on écrit le résultat obtenu sous la forme d'une fraction algébrique, en remplaçant le produit au dénominateur par un polynôme :

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Écrivons brièvement la solution sous la forme d'une chaîne d'égalités :

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Répondre: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Faites attention à ce détail : avant d'ajouter ou de soustraire des fractions algébriques, si possible, il convient de les transformer afin de simplifier.

Exemple 5

Il faut soustraire les fractions : 2 1 1 3 · x - 2 21 et 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Solution

Transformons les fractions algébriques originales pour simplifier la solution ultérieure. Sortons entre parenthèses les coefficients numériques des variables du dénominateur :

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 et 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Cette transformation nous a clairement profité : nous voyons clairement la présence d’un facteur commun.

Débarrassons-nous complètement des coefficients numériques dans les dénominateurs. Pour ce faire, on utilise la propriété de base des fractions algébriques : on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par 3 4, et la seconde par - 1 2, on obtient alors :

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 et 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Réalisons une action qui nous permettra de nous débarrasser des coefficients fractionnaires : multiplions les fractions obtenues par 14 :

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 et - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1 .

Enfin, effectuons l’action requise dans l’énoncé du problème – ​​soustraction :

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Répondre: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Addition et soustraction de fractions algébriques et de polynômes

Cette action se résume aussi à ajouter ou soustraire des fractions algébriques : il faut représenter le polynôme d'origine comme une fraction de dénominateur 1.

Exemple 6

Il faut ajouter un polynôme x 2 − 3 avec la fraction algébrique 3 x x + 2.

Solution

Écrivons le polynôme sous la forme d'une fraction algébrique de dénominateur 1 : x 2 - 3 1

Nous pouvons maintenant effectuer l'addition selon la règle d'addition de fractions avec des dénominateurs différents :

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Répondre: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

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