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Pensez-vous qu'il est encore temps avant l'examen d'État unifié et que vous aurez le temps de vous préparer ? C'est peut-être le cas. Mais dans tous les cas, plus un étudiant commence sa préparation tôt, plus il réussit les examens. Aujourd'hui, nous avons décidé de consacrer un article aux inégalités logarithmiques. C'est l'une des tâches qui signifie la possibilité d'obtenir un crédit supplémentaire.
Savez-vous déjà ce qu'est un logarithme ? Nous l’espérons vraiment. Mais même si vous n’avez pas de réponse à cette question, ce n’est pas un problème. Comprendre ce qu'est un logarithme est très simple.
Pourquoi 4 ? Il faut élever le nombre 3 à cette puissance pour obtenir 81. Une fois que vous aurez compris le principe, vous pourrez procéder à des calculs plus complexes.
Vous avez traversé les inégalités il y a quelques années. Et depuis, vous les rencontrez constamment en mathématiques. Si vous rencontrez des difficultés pour résoudre les inégalités, consultez la section appropriée.
Maintenant que nous nous sommes familiarisés avec les concepts individuellement, passons à leur examen général.
L'inégalité logarithmique la plus simple.
Les inégalités logarithmiques les plus simples ne se limitent pas à cet exemple, il y en a trois autres, uniquement avec des signes différents. Pourquoi est-ce nécessaire ? Mieux comprendre comment résoudre des inégalités avec des logarithmes. Donnons maintenant un exemple plus applicable, encore assez simple ; nous laisserons les inégalités logarithmiques complexes pour plus tard.
Comment résoudre cela ? Tout commence avec ODZ. Cela vaut la peine d’en savoir plus si vous souhaitez toujours résoudre facilement toute inégalité.
Qu’est-ce qu’ODZ ? ODZ pour les inégalités logarithmiques
L'abréviation représente la plage de valeurs acceptables. Cette formulation apparaît souvent dans les tâches de l'examen d'État unifié. ODZ vous sera utile non seulement dans le cas d'inégalités logarithmiques.
Regardez à nouveau l'exemple ci-dessus. Nous considérerons l'ODZ sur cette base, afin que vous compreniez le principe, et que la résolution des inégalités logarithmiques ne pose pas de questions. De la définition d'un logarithme, il s'ensuit que 2x+4 doit être supérieur à zéro. Dans notre cas, cela signifie ce qui suit.
Ce nombre, par définition, doit être positif. Résolvez l’inégalité présentée ci-dessus. Cela peut même se faire oralement : ici il est clair que X ne peut pas être inférieur à 2. La solution à l'inégalité sera la définition de la plage de valeurs acceptables.
Passons maintenant à la résolution de l'inégalité logarithmique la plus simple.
Nous écartons les logarithmes eux-mêmes des deux côtés de l'inégalité. Que nous reste-t-il en conséquence ? Inégalité simple.
Ce n'est pas difficile à résoudre. X doit être supérieur à -0,5. Nous combinons maintenant les deux valeurs obtenues dans un système. Ainsi,
Ce sera la plage de valeurs acceptables pour l'inégalité logarithmique considérée.
Pourquoi avons-nous besoin d’ODZ ? C’est l’occasion d’éliminer les réponses incorrectes et impossibles. Si la réponse ne se situe pas dans la plage des valeurs acceptables, alors elle n’a tout simplement aucun sens. Cela mérite d'être rappelé pendant longtemps, car dans l'examen d'État unifié, il est souvent nécessaire de rechercher ODZ, et cela ne concerne pas seulement les inégalités logarithmiques.
Algorithme de résolution d'inégalité logarithmique
La solution comprend plusieurs étapes. Tout d’abord, vous devez trouver la plage de valeurs acceptables. Il y aura deux significations dans l'ODZ, nous en avons discuté ci-dessus. Ensuite, vous devez résoudre l’inégalité elle-même. Les méthodes de résolution sont les suivantes :
- méthode de remplacement du multiplicateur ;
- décomposition;
- méthode de rationalisation.
Selon la situation, il vaut la peine d'utiliser l'une des méthodes ci-dessus. Passons directement à la solution. Laissez-nous vous révéler la méthode la plus populaire, qui convient pour résoudre les tâches de l'examen d'État unifié dans presque tous les cas. Nous examinerons ensuite la méthode de décomposition. Cela peut être utile si vous rencontrez une inégalité particulièrement délicate. Donc, un algorithme pour résoudre l'inégalité logarithmique.
Exemples de solutions :
Ce n’est pas pour rien que nous avons pris exactement cette inégalité ! Faites attention à la base. N'oubliez pas : s'il est supérieur à un, le signe reste le même lors de la recherche de la plage de valeurs acceptables ; sinon, vous devez changer le signe d'inégalité.
On obtient alors l’inégalité :
Maintenant, nous réduisons le côté gauche à la forme de l’équation égale à zéro. Au lieu du signe « inférieur à », nous mettons « égal » et résolvons l’équation. Ainsi, nous retrouverons l'ODZ. Nous espérons que vous n’aurez pas de problèmes pour résoudre une équation aussi simple. Les réponses sont -4 et -2. Ce n'est pas tout. Vous devez afficher ces points sur le graphique en plaçant « + » et « - ». Que faut-il faire pour cela ? Remplacez les nombres des intervalles dans l’expression. Là où les valeurs sont positives, on y met « + ».
Répondre: x ne peut pas être supérieur à -4 et inférieur à -2.
Nous avons trouvé la plage de valeurs acceptables uniquement pour le côté gauche ; nous devons maintenant trouver la plage de valeurs acceptables pour le côté droit. C'est beaucoup plus facile. Réponse : -2. Nous croisons les deux zones résultantes.
Et c’est seulement maintenant que nous commençons à nous attaquer aux inégalités elles-mêmes.
Simplifions-le autant que possible pour le rendre plus facile à résoudre.
Nous utilisons à nouveau la méthode des intervalles dans la solution. Laissons de côté les calculs, tout est déjà clair avec l'exemple précédent. Répondre.
Mais cette méthode convient si l'inégalité logarithmique a les mêmes bases.
La résolution d’équations logarithmiques et d’inégalités avec des bases différentes nécessite une réduction initiale à la même base. Ensuite, utilisez la méthode décrite ci-dessus. Mais il existe un cas plus compliqué. Considérons l'un des types d'inégalités logarithmiques les plus complexes.
Inégalités logarithmiques à base variable
Comment résoudre des inégalités présentant de telles caractéristiques ? Oui, et ces personnes peuvent être trouvées lors de l'examen d'État unifié. Résoudre les inégalités de la manière suivante aura également un effet bénéfique sur votre processus éducatif. Examinons le problème en détail. Laissons de côté la théorie et passons directement à la pratique. Pour résoudre des inégalités logarithmiques, il suffit de se familiariser une fois avec l'exemple.
Pour résoudre une inégalité logarithmique de la forme présentée, il est nécessaire de réduire le membre de droite à un logarithme de même base. Le principe ressemble à des transitions équivalentes. En conséquence, l’inégalité ressemblera à ceci.
En fait, il ne reste plus qu'à créer un système d'inégalités sans logarithmes. Par la méthode de rationalisation, on passe à un système d'inégalités équivalent. Vous comprendrez la règle elle-même lorsque vous remplacerez les valeurs appropriées et suivrez leurs modifications. Le système aura les inégalités suivantes.
Lorsque vous utilisez la méthode de rationalisation pour résoudre des inégalités, vous devez vous rappeler ce qui suit : un doit être soustrait de la base, x, par définition du logarithme, est soustrait des deux côtés de l'inégalité (de droite à gauche), deux expressions sont multipliées et placé sous le signe original par rapport à zéro.
La solution ultérieure est réalisée en utilisant la méthode des intervalles, tout est simple ici. Il est important que vous compreniez les différences dans les méthodes de résolution, afin que tout commence à se dérouler facilement.
Il existe de nombreuses nuances dans les inégalités logarithmiques. Les plus simples d’entre eux sont assez faciles à résoudre. Comment pouvez-vous résoudre chacun d’eux sans problème ? Vous avez déjà reçu toutes les réponses dans cet article. Vous avez maintenant une longue pratique devant vous. Entraînez-vous constamment à résoudre une variété de problèmes lors de l'examen et vous pourrez obtenir le score le plus élevé. Bonne chance à vous dans votre tâche difficile !
Une inégalité est dite logarithmique si elle contient une fonction logarithmique.
Les méthodes de résolution des inégalités logarithmiques ne diffèrent pas de celles-ci, à l'exception de deux choses.
Premièrement, lorsqu'on passe de l'inégalité logarithmique à l'inégalité des fonctions sublogarithmiques, il faut suivre le signe de l'inégalité résultante. Il obéit à la règle suivante.
Si la base de la fonction logarithmique est supérieure à 1$, alors lors du passage de l'inégalité logarithmique à l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, le signe de l'inégalité est conservé, mais s'il est inférieur à 1$, alors il change à l'opposé .
Deuxièmement, la solution de toute inégalité est un intervalle, et, par conséquent, à la fin de la résolution de l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, il est nécessaire de créer un système de deux inégalités : la première inégalité de ce système sera l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, et le second sera l'intervalle du domaine de définition des fonctions logarithmiques incluses dans l'inégalité logarithmique.
Pratique.
Résolvons les inégalités :
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y) : \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
La base du logarithme est $2>1$, donc le signe ne change pas. En utilisant la définition du logarithme, on obtient :
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )