نابرابری های لگاریتمی
در درس های قبلی با معادلات لگاریتمی آشنا شدیم و اکنون می دانیم که آنها چیست و چگونه آنها را حل کنیم. درس امروز به بررسی نابرابری های لگاریتمی اختصاص دارد. این نابرابری ها چیست و چه تفاوتی بین حل معادله لگاریتمی و نابرابری وجود دارد؟
نابرابری های لگاریتمی نابرابری هایی هستند که دارای متغیری هستند که در زیر علامت لگاریتم یا در پایه آن ظاهر می شود.
یا میتوان گفت که نابرابری لگاریتمی نابرابری است که مقدار مجهول آن، مانند یک معادله لگاریتمی، در زیر علامت لگاریتم ظاهر میشود.
ساده ترین نابرابری های لگاریتمی به شکل زیر است:
که در آن f(x) و g(x) عباراتی هستند که به x بستگی دارند.
بیایید با استفاده از این مثال به این موضوع نگاه کنیم: f(x)=1+2x+x2، g(x)=3x−1.
حل نابرابری های لگاریتمی
قبل از حل نابرابری های لگاریتمی، شایان ذکر است که هنگام حل آنها مشابه نامعادله های نمایی هستند، یعنی:
ابتدا، هنگام حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، همچنین باید پایه لگاریتم را با یک مقایسه کنیم.
ثانیاً، هنگام حل یک نابرابری لگاریتمی با استفاده از تغییر متغیرها، باید نابرابری ها را با توجه به تغییر حل کنیم تا زمانی که ساده ترین نابرابری را بدست آوریم.
اما من و شما جنبه های مشابهی را برای حل نابرابری های لگاریتمی در نظر گرفته ایم. حالا بیایید به یک تفاوت نسبتاً مهم توجه کنیم. من و شما می دانیم که تابع لگاریتمی دامنه تعریف محدودی دارد، بنابراین، هنگام حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، باید محدوده مقادیر مجاز (ADV) را در نظر بگیریم.
یعنی باید در نظر داشت که در حل معادله لگاریتمی، من و شما می توانیم ابتدا ریشه های معادله را پیدا کنیم و سپس این راه حل را بررسی کنیم. اما حل یک نابرابری لگاریتمی به این روش کار نخواهد کرد، زیرا حرکت از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، نوشتن ODZ نابرابری ضروری است.
علاوه بر این، لازم به یادآوری است که نظریه نابرابری ها از اعداد حقیقی که اعداد مثبت و منفی هستند و همچنین از عدد 0 تشکیل شده است.
به عنوان مثال، وقتی عدد "a" مثبت است، باید از نماد زیر استفاده کنید: a >0. در این صورت هم جمع و هم حاصلضرب این اعداد نیز مثبت خواهند بود.
اصل اصلی برای حل یک نابرابری این است که آن را با یک نابرابری ساده تر جایگزین کنیم، اما نکته اصلی این است که معادل با داده شده باشد. علاوه بر این، ما نیز یک نابرابری به دست آوردیم و دوباره آن را با یکی که شکل ساده تری دارد و غیره جایگزین کردیم.
هنگام حل نابرابری ها با یک متغیر، باید تمام راه حل های آن را پیدا کنید. اگر دو نامعادله دارای متغیر x یکسانی باشند، آنگاه این نامعادله ها معادل هستند، مشروط بر اینکه جواب های آنها بر هم منطبق باشد.
هنگام انجام وظایف حل نابرابری های لگاریتمی، باید به خاطر داشته باشید که وقتی a> 1 باشد، تابع لگاریتمی افزایش می یابد و زمانی که 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.
روش های حل نابرابری های لگاریتمی
حال بیایید به برخی از روش هایی که هنگام حل نامساوی لگاریتمی انجام می شود نگاه کنیم. برای درک بهتر و شبیه سازی، سعی می کنیم با استفاده از مثال های خاص آنها را درک کنیم.
من و شما می دانیم که ساده ترین نابرابری لگاریتمی به شکل زیر است:
در این نابرابری، V – یکی از علائم نابرابری زیر است:<,>، ≤ یا ≥.
هنگامی که پایه یک لگاریتم معین بزرگتر از یک باشد (a>1)، انتقال از لگاریتم به عبارات زیر علامت لگاریتم، در این نسخه علامت نابرابری حفظ می شود و نابرابری به شکل زیر خواهد بود:
که معادل این سیستم است:
\(\log\) \(_(\frac(1)(3))(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\) |
بیایید ODZ را بنویسیم. |
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\) |
|
\(\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\) |
براکت ها را باز می کنیم و می آوریم . |
\(\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\) |
ما نابرابری را در \(-1\) ضرب می کنیم، فراموش نمی کنیم که علامت مقایسه را معکوس کنیم. |
\(\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\) |
|
\(\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\) |
بیایید یک خط عددی بسازیم و نقاط \(\frac(7)(3)\) و \(\frac(3)(2)\) را روی آن علامت گذاری کنیم. لطفاً توجه داشته باشید که نقطه از مخرج حذف می شود، با وجود اینکه نابرابری دقیق نیست. واقعیت این است که این نقطه راه حل نخواهد بود، زیرا وقتی به نابرابری جایگزین شود، ما را به تقسیم بر صفر می رساند. |
|
اکنون ODZ را بر روی همان محور عددی رسم می کنیم و در پاسخ فاصله ای که به ODZ می افتد را می نویسیم. |
|
پاسخ نهایی را یادداشت می کنیم. |
مثال . حل نابرابری: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\)
راه حل:
\(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
بیایید ODZ را بنویسیم. |
ODZ: \(x>0\) |
بریم سراغ راه حل |
راه حل: \(\log^2_3x-\log_3x-2>0\) |
در اینجا ما یک نابرابری مربع لگاریتمی معمولی داریم. بیایید آن را انجام دهیم. |
\(t=\log_3x\) |
سمت چپ نابرابری را به . |
\(D=1+8=9\) |
|
اکنون باید به متغیر اصلی - x برگردیم. برای انجام این کار، اجازه دهید به که همان راه حل را دارد، برویم و تعویض معکوس را انجام دهیم. |
|
\(\left[ \begin(gathered) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3x>2\\\log_3x<-1 \end{gathered} \right.\) |
تبدیل \(2=\log_39\)، \(-1=\log_3\frac(1)(3)\). |
\(\left[ \begin(جمع شد) \log_3x>\log_39 \\ \log_3x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
بیایید به مقایسه استدلال ها بپردازیم. پایه های لگاریتم بزرگتر از \(1\) است، بنابراین علامت نامساوی ها تغییر نمی کند. |
\(\left[ \begin(جمع شد) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) |
اجازه دهید راه حل نابرابری و ODZ را در یک شکل ترکیب کنیم. |
|
بیایید جواب را یادداشت کنیم. |
حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویههای حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید با ما در میان بگذارید.
جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی
اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.
ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.
در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.
چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:
- وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.
نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:
- اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آینده با شما تماس بگیریم.
- هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلانها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
- ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
- اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.
افشای اطلاعات به اشخاص ثالث
ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.
استثناها:
- در صورت لزوم - مطابق با قانون، رویه قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های مقامات دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - برای افشای اطلاعات شخصی شما. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
- در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.
حفاظت از اطلاعات شخصی
ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.
احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت
برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.