Géométrie analytique sur le plan - Minorsky V.P. Théorie des limites et continuité des quantités infiniment grandes

Soit x une variable ordonnée (par exemple, une séquence de nombres).

Définition.

Nombre constantunest appelé la limite d'une variable x si un nombre positif arbitrairement petit nous ne l'avons pas pris, vous pouvez spécifier une valeur pour la variable x telle que toutes les valeurs suivantes de la variable satisferont l'inégalité X-UN .

Symboliquement, cela s'écrit xa ou limx=a (du latin limes - limite).

Géométriquement cette définition signifie que quel que soit le petit  - voisinage du point a que nous prenons, toutes les valeurs ultérieures de x après un certain point se situeront dans ce voisinage.

D'après le dessin, il est clair que l'inégalité
signifie que la distance du point x à a est inférieure à . Et voici l'intérieur du quartier. Le point x satisfait évidemment aussi la double inégalité a- et ceux-ci sont équivalents.

À PROPOS définition: Pour une séquence de nombres (x n) a est la limite si
vous pouvez spécifier un nombre N tel que pour tout

Pour les membres de la séquence, toutes les valeurs x N , x N +1 et se trouvent en outre à l'intérieur -le quartier est un incontournable.

Une variable x, dont les valeurs forment la séquence numérique x 1,x 2,…,x n, est souvent écrite comme membre de la séquence x=x n ou (x n). Par exemple, (1/n). Il s'agit d'une quantité ou séquence variable avec un terme commun x n = 1/n : 1,1/2,1/3…

Exemple: Laissez la variable x prendre des valeurs séquentielles : x 1 =2/1, x 2 =3/2, x 3 =4/3, …,x n =(n+1)/n,… c'est-à-dire former une séquence de nombres. Prouvons que
.

Prenons
.


. Dès que le numéro devient
, nous le prendrons comme N. Alors l’inégalité restera valable pendant
. Mais alors tout est prouvé.

Théorème 1 : la limite d'une valeur constante est égale à cette constante. Preuve: Une valeur constante est un cas particulier de variable - toutes ses valeurs =c : x=c/ Mais alors limc=c.

Théorème 2 : La variable x ne peut pas avoir deux limites.

Preuve: Disons limx=a et limx=b. Alors

Et
après quelques valuex. Mais alors

Parce que arbitrairement petit, alors l'inégalité n'est possible que lorsque a = b

Note: La variable ne peut pas avoir de limite : x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1. La distance à n'importe quel point a de ses valeurs –1,+1 ne peut être inférieure à 1/2
(-1) n n'a pas de limite.

Nous avons supposé que a était un nombre. Mais la variable x peut aussi tendre vers l’infini.

Définition: La variable x tend vers l'infini si pour
à partir d'une certaine valeur x poids, les valeurs restantes satisfont l'inégalité
. Variablex a tendance à
, si dans les mêmes conditions l'inégalité x>M et k - , si dans les mêmes conditions l'inégalité x<-M. Если переменная X стремится к бесконечности, то её называют infiniment grand et écrire

Exemple: x=x n =n 2 . Prenons
>0. n 2 >M doit être rempli. n>
. Dès que n satisfait cette inégalité, alors pour tout x n = n 2 l'inégalité est satisfaite. Donc n°2
, ou plutôt n 2
.

§3. Limite de fonction.

Nous supposerons que l'argument x de la fonction y=f(x) tend vers x 0 ou .

Considérons le comportement de la fonction y dans ces cas.

Définition.

Soit la fonction y=f(x) définie dans un certain voisinage du point x 0 . Un nombre A est appelé limite d'une fonction pour xx 0 si pour tout , si petit soit-il, on peut spécifier un nombre  tel que pour tout xx 0 et satisfaisant l'inégalité x-x 0   l'inégalité f est satisfaite (x)-A.

Si A est la limite de la fonction f(x), alors ils écrivent
orf(x)A en xx 0.

À PROPOS La définition peut être illustrée de cette façon géométriquement.

Si A est la limite de f(x) pour xx 0, alors en prenant n'importe quel -voisinage du point A, nous pouvons toujours indiquer un tel -voisinage du point x 0 que pour tout x de ce -voisinage de la valeur de la fonction f(x) ne sont pas éloignés de A de plus de , c'est-à-dire tombera dans le quartier  sélectionné du point A, ou, de toute façon, la partie du graphique correspondant aux points x du quartier  se trouve entièrement dans une bande de largeur 2.

On peut voir que plus  est petit, plus  doit être petit.

Définition.

Soit l'argument x tendant vers le point x 0, en prenant tout le temps les valeurs xx 0 xx 0 . Alors le nombre A 1 (A 2), vers lequel tend la fonction f(x), est appelée la limite de la fonction f(x) au point x 0 à droite (gauche) ou droitier (gaucher).

Il s'écrit : lim x  x0+0 f(x)=A 1, (lim x  x0-0 f(x)=A 2).

On peut prouver que si la limite lim x  x0 f(x) = A existe, alors les deux limites unilatérales existent en ce point et elles sont égales, A 1 = A 2 = A. Inverse : s’il existe des limites unilatérales et qu’elles sont égales, alors il existe une limite générale. Si au moins un n’existe pas ou s’ils ne sont pas égaux, alors la limite de la fonction n’existe pas.

Exemple.

Montrer que f(x)=3x-2 a une limite en x1 égale à 1.

Des ? , х 3.

Comme , vous pouvez prendre n'importe quel nombre positif /3 ; 0</3.

Ils ont prouvé que pour tout  il suffit de prendre /3 pour que de 0х f(x)-1, mais cela signifie que lim X  (3x-2)=1.

Définition.

H
Le nombre A est appelé la limite de la fonction y=f(x) pour x si pour tout  (aussi petit soit-il) on peut spécifier un nombre positif P tel que pour toutes les valeurs de x satisfaisant la l'inégalité xP l'inégalité  f(x)-A.

Écrivez lim x  f(x)=A.

Géométriquement, cela signifie que pour tout  le graphique de la fonction pour xp et x-p est situé dans une bande de largeur 2.

Exemple.

f(x)=1/x pour x, f(x)0.

Quel que soit 0 pris, le graphique de la fonction pour xP et x-P sera situé dans une bande de largeur 2.

1/х, 1/х, x1/, Р=1/.

De même défini
f(x)=A 1 et
f(x)=UNE2. Dans le premier cas, l'inégalité f(x)-A 1  pour xP doit être satisfaite, dans le second cas f(x)-A 2  pour x-P (P0 .

Donc,
1/x=0, et
1/x=0. Leur égalité permet de considérer la limite générale
1/x=0.

Laisser X – quantité variable. Cela signifie que la valeur X change de sens. C'est ce qui le rend fondamentalement différent de tout autre valeur constante a, ce qui ne change pas sa valeur inchangée. Par exemple, la hauteur d’un poteau est une valeur constante, mais la hauteur d’un arbre vivant en croissance est une valeur variable.

Valeur variable X considérée comme donnée, la séquence numérique est donnée

ses significations. Autrement dit, ces valeurs X 1 ; X 2 ;X 3 ;..., qu'il accepte systématiquement, l'un après l'autre, dans le processus de son changement. Nous supposerons que ce processus de changement d'ampleur X ses valeurs ne s'arrêtent à aucun moment (variable X ne gèle jamais, il est « toujours vivant »). Cela signifie que la séquence (1) a un nombre infini de valeurs, qui est marquée dans (1) par des points de suspension.

Les valeurs d'une variable peuvent être considérées comme un ensemble de valeurs d'une fonction de l'argument naturel xn =f(n). Membre xn est appelé le membre commun de la séquence. Une séquence est considérée comme donnée si une méthode est donnée pour calculer l'un de ses membres par son numéro connu.

Exemple 1: Écrivez les dix premiers termes de la suite si son terme commun est .

Solution: Calculer la valeur d'une fraction étant donné les valeurs négal à 1,2,3,…10, on obtient :

En général, une séquence avec un terme commun s’écrira ainsi :

Naturellement, on s’intéresse à la nature du changement d’ampleur. X leurs significations. Autrement dit, la question se pose : ces valeurs changent-elles de manière non systématique, chaotique ou délibérée d'une manière ou d'une autre ?

Le principal intérêt réside bien entendu dans la deuxième option. À savoir, laissez les valeurs xn variable Xà mesure que leur nombre augmente n approchent indéfiniment ( aspirer) à un numéro spécifique un. Cela signifie que la différence (distance) entre les valeurs xn variable X et numéro un contrats, tendant à mesure qu'il augmente n(à ) à zéro. En remplaçant le mot « cherche » par une flèche, ce qui précède peut s'écrire comme suit :

À<=>à 2 heures)

Si (2) est vrai, alors on dit que la variable x tend à numéroter a. Ce nombre UN appelé limite de la variable x. Et il est écrit ainsi :

Lit : la limite x est un(x tend vers un).

Variable d'aspiration Xà ta limite un peut être clairement illustré sur un axe numérique. La signification mathématique exacte de ce désir XÀ un est-ce que peu importe la taille d'un nombre positif, et donc peu importe la taille de l'intervalle ni entourer le nombre sur la droite numérique un, dans cet intervalle (dans ce qu'on appelle -le voisinage du nombre un) frappera à partir d'un certain nombre N, toutes les valeurs xn variable X. En particulier, sur la Fig. 1 dans le quartier représenté du nombre un j'ai toutes les valeurs xn variable X, en commençant par le numéro .

Définition: Nombre UN appelée la limite de la suite (la limite de la variable X ou la limite de la fonction f(n)), si quel que soit un nombre positif prédéterminé, il est toujours possible de trouver un tel nombre naturel N, qui pour tous les membres de la séquence avec des nombres n>N l’inégalité sera satisfaite.

Cette inégalité est équivalente aux deux inégalités suivantes : . Nombre N cela dépend de celui choisi. Si vous réduisez le nombre , alors le nombre correspondant N augmentera.

Pour une séquence (ou pour une variable X) il n’est pas nécessaire d’avoir une limite, mais s’il y a cette limite, alors c’est la seule. Une suite ayant une limite est appelée convergent. Une séquence qui n'a pas de limite s'appelle divergent.

Valeur variable X, peut atteindre ses limites de différentes manières :

1. rester en dessous de votre limite,

2. rester au-dessus de votre limite,

3. fluctuant autour de votre limite,

4. prendre des valeurs égales à sa limite.

Le choix du numéro est arbitraire, mais une fois choisi, il ne devrait plus être modifié.

Variable X avoir zéro comme limite (c'est-à-dire tendre vers zéro) est appelé infinitésimal. Une variable X, une croissance sans limite en valeur absolue s'appelle infiniment grand(son module tend vers l'infini).

Donc si, alors X est une quantité variable infinitésimale, et si , alors X– une quantité variable infiniment grande. En particulier, si ou , alors X– une quantité variable infiniment grande.

Si donc . Et vice versa si , Que . De là, nous obtenons le lien important suivant entre la variable X et sa limite un:

Il a déjà été dit que toutes les variables ne X a une limite. De nombreuses variables n'ont pas de limite. Son existence ou non dépend de la séquence (1) des valeurs de cette variable.

Exemple 2 . Laisser

Ici, évidemment, c'est le cas.

Exemple 3 . Laisser

X– infinitésimal.

Exemple 4 . Laisser

Ici, évidemment, c'est le cas. Donc la variable X– infiniment grand.

Exemple 5 . Laisser

Ici, évidemment, la variable X ne cherche à rien. C'est-à-dire qu'il n'y a pas de limite (n'existe pas).

Exemple 6 . Laisser

Voici la situation avec la limite de la variable X pas aussi évident que dans les quatre exemples précédents. Pour clarifier cette situation, transformons les valeurs xn variable X:

Évidemment, à . Moyens,

à .

Et cela signifie que, bien sûr.

Exemple 7 . Laisser

Ici la séquence ( xn) valeurs des variables X représente une progression géométrique infinie avec le dénominateur q. Par conséquent, la limite de la variable X est la limite d'une progression géométrique infinie.

a) Si , alors, évidemment, à . Et cela signifie que ().

b) Si , alors . Autrement dit, dans ce cas, les valeurs des variables X ne changez pas - ils sont toujours égaux à 1. Alors sa limite est également égale à 1 ().

c) Si , alors . Dans ce cas, cela n’existe évidemment pas.

d) Si , alors est une suite de nombres positifs infiniment croissants. Ce qui signifie ().

e) Si , alors en introduisant la notation , où , on obtient : – une suite numérique alternée de termes infiniment croissants en valeur absolue :

Ce qui signifie la variable X infiniment grand. Mais du fait de l'alternance de signes de ses membres, il ne tend ni vers +∞ ni vers –∞ (il n'a pas de limite).

Exemple 8. Montrer qu'une suite avec un terme commun a une limite égale à 2.

Preuve: Choisissons un nombre arbitrairement positif et montrons qu'il est possible de sélectionner un tel nombre N, qui pour toutes les valeurs du nombre n, supérieur à ce nombre N, l'inégalité sera satisfaite, dans laquelle il faut prendre une=2, , c'est à dire. l'inégalité sera satisfaite .

De cette inégalité, après réduction des parenthèses à un dénominateur commun, on obtient . Ainsi: . Derrière N Prenons le plus petit entier appartenant à l'intervalle. Ainsi, nous avons pu déterminer, à partir d'un positif arbitrairement donné, une telle N cette inégalité effectué pour tous les nombres n>N. Cela prouve que 2 est la limite d'une suite avec un terme commun.

Les séquences monotones et limitées sont particulièrement intéressantes.

Définition: augmentant de façon monotone, si devant tout le monde n chacun de ses membres est supérieur au précédent, c'est-à-dire si , et décroissant de façon monotone si chacun de ses termes est inférieur au précédent, c'est-à-dire .

Exemple 9. Séquence de nombres naturels 1,2,3,…., n,… - augmentant de façon monotone.

Exemple 10. Suite de nombres, réciproques de nombres naturels, - décroissant de façon monotone.

Définition: la séquence s'appelle limité, si tous ses termes sont dans un intervalle fini (-M,+M) Et M>0, c'est à dire. si , pour n'importe quel nombre n.

Exemple 11. Sous-séquence (xn), Où xn Il y a n la ième décimale du nombre est limitée, car .

Exemple 12. La séquence est limitée car .

Propriétés de base des variables et leurs limites

1) Si (variable X immuable et égal à constant un), alors il est naturel de supposer que et . Autrement dit, la limite d'une constante est égale à elle-même :

2) Si , et un Et b sont finis, alors . C'est

Séquence numérique.

Variable parcourant une séquence de nombres

Si pour tout nombre naturel n attribué un vrai numéro xn, c'est à dire.

1, 2, 3, 4, …, n, …

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , …, x n , …

alors ils disent qu'une séquence de nombres avec un terme commun est donnée xn. Dans ce qui suit nous dirons que la variable est donnée X, parcourant une séquence de nombres avec un terme commun xn. Dans ce cas, nous désignerons cette variable xn. Valeurs variables xn sont représentés par des points sur l’axe des nombres.

Par exemple, étant donné les variables :

: ou ;

: 1, 4, 6, …, 2n ..

Nombre UN appelé limite de la variable x n , si pour tout nombre arbitrairement petit ε > 0 il existe un tel nombre naturel N xn, dont le numéro n plus de numéro N, satisfont l’inégalité.

Ce fait s’écrit symboliquement ainsi :

Géométriquement, cela signifie que les points représentant les valeurs de la variable xn, épaissir, s'accumuler autour d'un point UN.

Notez que si une variable a une limite, alors c'est la seule. La limite d'une constante est la constante elle-même, c'est-à-dire , Si c=const. Une variable peut ne pas avoir de limite du tout.

Par exemple, variable xn =(-1)n n'a pas de limite, c'est-à-dire Il n'existe pas de nombre unique autour duquel s'accumulent les valeurs d'une variable. Géométriquement c'est évident .

Variable restreinte

Variable xn appelé limité , si un tel numéro existe M> 0, qui | xn| < M pour tous les numéros n.

Étant donné une variable. Comme un numéro M vous pouvez prendre par exemple 3. Évidemment, pour tous les nombres n. C’est donc une variable limitée.

Variable xn = 2n est illimité, parce que à mesure que le nombre augmente n ses valeurs augmentent et il est impossible de trouver un tel nombre M> 0 à |2 n| < M pour tous les numéros n.

Théorème. Si une variable a une limite finie, alors elle est limitée.

Le théorème inverse n’est pas vrai.

Des quantités infinitésimales

Variable xn appelé infinitésimal , si sa limite est 0.

Par exemple, les quantités infinitésimales sont :

Parce que ;

Parce que

La quantité n’est pas infinitésimale, c’est une quantité finie.

La somme (différence) d’un nombre fini d’infinitésimaux est une quantité infinitésimale.

Le produit d'un infinitésimal par une quantité constante ou par un infinitésimal ou par une quantité ayant une limite finie est une quantité infinitésimale.

Des quantités infinies

Variable xn appelé infiniment grand , si pour un nombre arbitrairement grand A>0, il existe un tel nombre naturel N, que toutes les valeurs de la variable xn, dont le numéro n>N, satisfont l’inégalité.

Dans ce cas, ils écrivent ou.

Par exemple, les variables suivantes sont infiniment grandes :

x n = n 2 : 1,4,9,16,…; xn = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

x n = (-1) n × n: -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

On constate que les grandeurs des valeurs de ces variables augmentent sans limite.

, , .

Le produit d’un infiniment grand par un infiniment grand ou une quantité ayant une limite est une quantité infiniment grande.

La somme des nombres infiniment grands d’un même signe est infiniment grande.

L’inverse de l’infiniment grand est infinitésimal.

L’inverse d’un infinitésimal est un infiniment grand.

Commentaire.

Si , UN- numéro, alors ils disent ça xn Il a fini limite.

Si, alors ils disent que xn Il a sans fin limite.

Opérations arithmétiques sur les variables

Si les variables xn Et o n ont des limites finies, alors leur somme, leur différence, leur produit et leur quotient ont également des limites finies, et si et alors

(4.3)

Commentaire: , c = const.

Le facteur constant peut être pris au-delà du signe limite.

Fonction

Soit deux variables X Et oui.

Variable oui appelé fonction à partir d'une variable X, si chaque valeur Xà partir d'un certain ensemble, selon une certaine loi, une certaine valeur correspond oui.

Où X appelé variable indépendante ou argument , y – variable dépendante ou fonction . Indiqué par: y = f(x) ou y=y(x).

MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION ET DES SCIENCES DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE INSTITUTION D'ENSEIGNEMENT D'ÉTAT D'ENSEIGNEMENT PROFESSIONNEL SUPÉRIEUR « RECHERCHE NATIONALE UNIVERSITÉ POLYTECHNIQUE DE TOMSK » L.I. Samochernova MATHÉMATIQUES SUPÉRIEURES Partie II Recommandé comme manuel par le Conseil de rédaction et d'édition de l'Université polytechnique de Tomsk 2e édition, maison d'édition révisée de l'Université polytechnique de Tomsk 2005 UDC 514.12 C17 Samochernova L.I. C17 Mathématiques supérieures. Partie II : manuel / L.I. Samo-chernova; Université Polytechnique de Tomsk. – 2e éd., rév. – Tomsk : Maison d'édition de l'Université polytechnique de Tomsk, 2005. – 164 p. Le manuel comprend trois sections de mathématiques supérieures : 1) introduction à l'analyse mathématique (la limite d'une séquence et d'une fonction, les quantités infinitésimales et infiniment grandes, la comparaison des infinitésimaux, la continuité d'une fonction, les points de discontinuité) ; 2) calcul différentiel d'une fonction d'une variable (dérivée et différentielle d'une fonction, applications du calcul différentiel à l'étude des fonctions) ; 3) calcul intégral (intégrale indéfinie, intégrale définie, applications géométriques de l'intégrale définie). Le manuel a été préparé au Département de mathématiques appliquées et est destiné aux étudiants de l'enseignement étranger qui étudient dans les domaines 080400 « Gestion des ressources humaines », 080200 « Gestion », 080100 « Économie », 100700 « Commerce ». UDC 514.12 Réviseurs Candidat en sciences physiques et mathématiques, professeur agrégé du département d'algèbre de TSU S.Ya. Grinshpon Candidat en sciences techniques, professeur agrégé de la Faculté des systèmes de contrôle de TUSUR A.I. Kochegurov © Université polytechnique de Tomsk, 2005 © Samochernova L.I., 2005 © Design. Maison d'édition de l'Université polytechnique de Tomsk, 2005 2 1. INTRODUCTION À L'ANALYSE MATHÉMATIQUE 1.1. Une suite numérique et sa limite Définition 1. Si, selon une loi, chaque nombre naturel n est associé à un nombre xn bien défini, alors on dit qu'une suite numérique (xn) est donnée : x1,x2, x3,. ..,xn,... (1.1) En d'autres termes, une suite de nombres est fonction d'un argument naturel : xn = f(n). Les nombres qui composent une séquence sont appelés ses termes, et xn est le terme commun ou nième de la séquence. Exemple de suite de nombres : 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... Pour cette suite x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x n = 2n est un membre commun de la séquence de nombres pairs. n Exemple 1. Connaissant le terme général de la suite xn = , écrivez n+2 ses cinq premiers termes. Solution. En donnant à n les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, on obtient 1 2 3 4 5 x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = ; x5 = . 3 4 5 6 7 n En général, une suite ayant un terme commun xn = s'écrira ainsi : n+2 1 2 3 4 n ,...,... 3 4 5 6 n+2 Notez que puisque xn =f(n) est une fonction, c'est-à-dire, d'une manière générale, une quantité variable, alors par commodité on appellera souvent la fonction xn une quantité variable, ou simplement une variable xn. Séquences bornées et non bornées Définition 2. Une séquence (xn) est dite bornée par le haut (par le bas) s'il existe un nombre réel M (numéro m) tel que chaque élément xn de la séquence (xn) satisfait l'inégalité xn ≤ M ( xn ≥m). Dans ce cas, le nombre M (nombre m) est appelé la limite supérieure (limite inférieure) de la séquence (xn), et l'inégalité xn ≤ M (xn ≥ m) est appelée la condition pour que la séquence soit bornée par le haut (par le bas). 3 Définition 3. Une suite est dite bornée des deux côtés, ou simplement bornée, si elle est bornée à la fois au-dessus et au-dessous, c'est-à-dire s'il existe des nombres m et M tels que tout élément xn de cette suite satisfait les inégalités : m ≤ xn ≤ M. Si une séquence (xn) est bornée et que M et m sont ses limites supérieure et inférieure, alors tous les éléments de cette séquence satisfont à l'inégalité xn ≤ A, (1.2) où A est le maximum de deux nombres |M| et |m|. Inversement, si tous les éléments de la séquence (xn) satisfont à l'inégalité (1.2), alors les inégalités − A ≤ xn ≤ A sont également vraies et, par conséquent, la séquence (xn) est bornée. Ainsi, l’inégalité (1.2) est une autre forme de condition de limitation d’une séquence. Clarifions le concept de séquence illimitée. Une séquence (xn) est dite illimitée si pour tout nombre positif A il existe un élément xn de cette séquence qui satisfait l'inégalité xn > A. 2n Exemples : 1. Une suite avec un terme commun xn = (− 1)n sin 3n n +1 est bornée, puisque pour tout n l'inégalité 2n 2n xn = (− 1)n ⋅ ⋅ sin 3n ≤< 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn >xn +1), alors la séquence (xn) est dite croissante (décroissante). Les séquences croissantes et décroissantes sont également appelées strictement monotones. Exemple 2. La séquence de nombres impairs 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ..., où xn = 2n − 1, est croissante de manière monotone. 4 En effet, xn +1 − xn = − (2n − 1) = 2, donc xn +1 − xn > 0, c'est-à-dire xn +1 > xn pour tout n. Limite d'une séquence Définissons l'un des concepts les plus importants de l'analyse mathématique - la limite d'une séquence, ou, ce qui revient au même, la limite d'une variable xn parcourant la séquence x1,x2,...,xn, ... Définition 5. Un nombre constant a est appelé une séquence limite x1,x2 ,...,xn ,... ou la limite de la variable xn, si pour tout nombre positif arbitrairement petit ε on peut spécifier un nombre naturel N tel que pour tous les membres de la séquence de nombres n>N you - l'inégalité xn − a est remplie< ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n >N inégalité (1.3) sera satisfaite, dans laquelle il faut prendre a =1 ; n xn = , c'est-à-dire l'inégalité n +1 n 1−< ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 >1/ε, n > 1/ε–1. Par conséquent, N peut être considéré comme le plus grand entier contenu dans (1/ε – 1), c’est-à-dire E(1/ε – 1). Alors l’inégalité (1.4) sera satisfaite pour tout n >N. S'il s'avère que E(1/ε – 1) ≤ 0, alors N peut être pris égal à 1. Puisque ε a été pris arbitrairement, cela prouve que 1 est la limite de la suite de terme commun xn = n /( n+1) . En particulier, si ε = 0,01, alors N = E (1 / 0,01 − 1) = E (100 – 1) = 99 ; si ε=1/2, alors N=E (1 / 0,5 − 1)=1, etc. N ainsi choisi pour différentes valeurs de ε sera le plus petit possible. Interprétation géométrique de la limite d'une suite de nombres La suite de nombres (1.1) peut être considérée comme une suite de points sur une droite. De la même manière, on peut parler de limite comme d’un point sur une droite. Puisque l’inégalité xn − a< ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n >N tombera dans le quartier donné. Représentons les nombres a, a – ε, a + ε et les valeurs de la variable xn comme des points sur l'axe des nombres (Fig. 1). La réalisation de l'inégalité (1.3) sous la condition n > N signifie géométriquement que tous les points xn, à partir du point x N +1, c'est-à-dire à partir d'un point dont l'indice dépasse un certain nombre naturel N, se situeront certainement dans le ε- points de quartier a. En dehors de ce voisinage, même s’il existe des points xn, il n’y en aura qu’un nombre fini. Riz. 1 Test de convergence d'une suite monotone Théorème 1. Toute suite non croissante (non décroissante) (xn) ou variable xn bornée par le bas (par le haut) a une limite. 6 1.2. Grandeurs infiniment petites et infiniment grandes Définition 1. Une variable xn est dite infinitésimale si elle a une limite égale à zéro. Suite à la définition de la limite, on peut dire que xn sera infinitésimal si pour tout ε > 0 arbitrairement petit il existe N tel que pour tout n > N l'inégalité xn< ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε >0. Des exemples d'infinitésimal sont les variables 1 1 (−1) n xn = , xn = − , xn = , xn = q n pour q< 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε >0. De l'inégalité xn = =< ε полу- n n чаем n >1/ε. Si on prend N = E(1/ε), alors pour n > N on aura xn< ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Определение 2. Переменная величина xn называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль- шого числа M >0 nous pouvons spécifier un nombre naturel N tel que pour tous les nombres n > N l'inégalité xn > M. En d'autres termes, une variable xn est dite infiniment grande si, à partir d'un certain nombre, elle devient et reste pour tous les nombres suivants sont supérieurs en valeur absolue à tout nombre positif prédéterminé M. On dit qu'une variable infiniment grande xn tend vers l'infini ou a une limite infinie, et ils écrivent : xn → ∞ ou lim xn = ∞. n →∞ n →∞ 7 Dans le cadre de l'introduction d'un nouveau concept - « limite infinie » - nous convenons d'appeler une limite au sens précédemment défini une limite finie. Exemple 2. La quantité xn = (− 1)n ⋅ n, prenant successivement les valeurs -1, 2, -3, 4, -5, ..., (− 1)n n, K est infiniment grand. En effet, xn = (− 1)n n = n . De là il est clair que, quel que soit le nombre M, pour tout n, à partir de certains, il y aura xn = n > M, c'est-à-dire lim xn = ∞. n →∞ Définition 3. Une quantité variable xn est appelée une quantité infiniment grande positive si pour tout nombre M on peut spécifier un nombre naturel N tel que pour tous les nombres n > N l'inégalité xn > M est vraie. Dans ce cas, la variable on dit que la quantité est xn tend vers plus l'infini et écrivez-la symboliquement comme ceci : xn → +∞ ou lim xn = +∞. n→∞ n →∞ Définition 4. Une variable xn est appelée une quantité infiniment grande négative si pour tout nombre M on peut spécifier un nombre naturel N tel que pour tout n > N l'inégalité xn est vraie<М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М > 0) avec le centre à l'origine des coordonnées, le point xn, représentant les valeurs d'une quantité infiniment grande, avec un nombre n suffisamment grand sera en dehors du segment indiqué et avec une nouvelle augmentation de n restera en dehors de celui-ci ( Figure 2). De plus, si xn est une quantité infiniment grande positive (négative), alors le point représentant ses valeurs sera pour des nombres n suffisamment grands en dehors du segment spécifié sur le côté droit (gauche) de l'origine. Riz. 2 8 Remarque 2. 1. Les symboles ∞, + ∞, − ∞ ne sont pas des nombres, mais sont introduits uniquement pour simplifier la notation et pour exprimer brièvement le fait qu'une variable est infiniment grande, positive infiniment grande et négative infiniment grande. Il ne faut pas oublier qu'aucune opération arithmétique ne peut être effectuée sur ces symboles ! 2. Vous ne pouvez pas mélanger un très grand nombre constant avec une valeur infiniment grande. Relation entre quantités infiniment grandes et infinitésimales Théorème 1. Soit xn ≠0 (pour tout n). Si xn est infiniment grand, alors yn = 1 / xn est infiniment petit ; si xn est infiniment petit, alors yn = 1 / xn est infiniment grand. 1.3. Opérations arithmétiques sur des quantités variables. Théorèmes de base sur les limites des variables (séquences) Introduisons la notion d'opérations arithmétiques sur les variables. Disons deux quantités variables xn et yn, prenant respectivement les valeurs suivantes : x1, x2, x3, ..., xn, ..., y1, y2, y3, ..., yn, .... La somme de deux variables données xn et yn est comprise comme une variable dont chaque valeur est égale à la somme des valeurs correspondantes (avec les mêmes nombres) des variables xn et yn, c'est-à-dire une variable prenant un séquence de valeurs x1 + y1, x2 + y2, K, xn + yn , K Nous désignerons cette variable par xn + yn . La somme d'un nombre quelconque de variables, leur produit, ainsi que la différence de deux variables et leur quotient sont déterminés de la même manière. Ainsi, de nouvelles variables apparaissent : xn + y n, xn − y n, xn ⋅ y n et x n / y n. (Dans ce dernier cas, on suppose qu'au moins à partir d'un certain nombre, yn ≠0, et le quotient xn/yn n'est pris en compte que pour de tels nombres). De même, ces définitions sont formulées en termes de séquences. 9 Théorèmes sur les limites des variables Théorème 1. La variable xn ne peut avoir qu'une seule limite. Il existe un lien entre les variables qui ont une limite et les quantités infinitésimales. Théorème 2. Une quantité variable qui a une limite peut être représentée comme la somme de sa limite et d'une quantité infinitésimale. Théorème 3 (converse du théorème 2). Si la variable xn peut être représentée comme la somme de deux termes xn = a + α n, (1.5) où a est un certain nombre et α n est un infinitésimal, alors a est la limite de la variable xn. Théorème 4. Si une variable xn a une limite finie, alors elle est bornée. Conséquence. Une variable infinitésimale est limitée. Lemme 1. La somme algébrique de tout nombre (mais limité) de quantités infinitésimales est également une quantité infinitésimale. Lemme 2. Le produit d'une variable bornée xn et d'un α n infinitésimal est une quantité infinitésimale. Corollaire 1. Le produit de tout nombre fini de quantités infinitésimales représente une quantité infinitésimale. Corollaire 2. Le produit d'une quantité constante et d'une quantité infinitésimale est une quantité infinitésimale. Corollaire 3. Le produit d'une quantité variable tendant vers la limite et d'une quantité infinitésimale est une quantité infinitésimale. En utilisant les lemmes 1 et 2, nous pouvons prouver les théorèmes suivants sur les limites. Théorème 5. Si les variables xn et yn ont des limites finies, alors leur somme, différence, produit ont également des limites finies, et : 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→ ∞ 2) lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ Remarque 1. Ce théorème est vrai pour tout nombre fixe de termes et de facteurs. Conséquence. Le facteur constant peut être pris au-delà du signe de la limite, c'est-à-dire lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ où c est une constante. Théorème 6. Si les variables xn et yn ont des limites finies et yn ≠0, lim yn ≠ 0, alors le quotient de ces variables a aussi une limite, et n →∞ 10