Хавтгай дээрх аналитик геометр - Minorsky V.P. Хязгаарын онол ба тасралтгүй байдал Хязгааргүй их хэмжигдэхүүн

x нь эрэмбэлэгдсэн хувьсагч (жишээлбэл, тооны дараалал) байг.

Тодорхойлолт.

Тогтмол тооадурын жижиг эерэг тоо байвал x хувьсагчийн хязгаар гэнэ Бид үүнийг аваагүй тул та x хувьсагчийн утгыг зааж өгч болно, ингэснээр хувьсагчийн дараагийн бүх утгууд тэгш бус байдлыг хангах болно. x-А .

Үүнийг бэлгэдлийн хувьд xa эсвэл limx=a (Латин limes - хязгаар) гэж бичдэг.

Геометрийн хувьдЭнэ тодорхойлолт нь ямар ч жижиг  - а цэгийн хөршөөс үл хамааран тодорхой цэгээс хойшхи х-ийн бүх дараагийн утгууд энэ хөршид байх болно гэсэн үг юм.

Зургаас харахад тэгш бус байдал нь тодорхой байна
x цэгээс а хүртэлх зай -аас бага байна гэсэн үг. Мөн энэ бол хөршийн дотоод засал юм. x цэг нь a- давхар тэгш бус байдлыг хангах нь тодорхой мөн эдгээр нь тэнцүү юм.

ТУХАЙ тодорхойлолт:Тооны дарааллын хувьд (x n) a нь хэрэв хязгаар юм
та бүгдэд зориулагдсан N дугаарыг зааж өгч болно

Дарааллын гишүүдийн хувьд бүх утгууд x N, x N +1, цаашлаад дотор нь байна -Хөрш байх ёстой.

Утга нь x 1,x 2,…,x n тоон дарааллыг бүрдүүлдэг x хувьсагчийг ихэвчлэн x=x n эсвэл (x n) дарааллын гишүүн болгон бичдэг. Жишээлбэл, (1/n). Энэ нь x n =1/n: 1,1/2,1/3… гэсэн нийтлэг гишүүнтэй хувьсах хэмжигдэхүүн буюу дараалал юм.

Жишээ: x хувьсагч дараалсан утгыг авъя: x 1 =2/1, x 2 =3/2, x 3 =4/3, …,x n =(n+1)/n,… i.e. тооны дараалал үүсгэнэ. Үүнийг баталцгаая
.

Авцгаая
.


. Тоо гармагц
, бид үүнийг Н гэж хүлээн авна. Дараа нь тэгш бус байдал үргэлжлэх болно
. Гэхдээ дараа нь бүх зүйл нотлогддог.

Теорем 1:тогтмол утгын хязгаар нь энэ тогтмолтой тэнцүү байна. Нотолгоо:Тогтмол утга нь хувьсагчийн онцгой тохиолдол юм - түүний бүх утгууд =c: x=c/ Гэхдээ дараа нь limc=c.

Теорем 2:х хувьсагч нь хоёр хязгаартай байж болохгүй.

Нотолгоо: limx=a ба limx=b гэж үзье. Дараа нь

Тэгээд
зарим нэг үнэ цэнийн дараа. Харин дараа нь

Учир нь дур мэдэн жижиг, тэгвэл a=b үед л тэгш бус байдал боломжтой

Жич:Хувьсагч нь хязгааргүй байж болно: x=x n =(-1) n =-1,+1,-1,+1. Түүний –1,+1 утгаас аль ч цэг хүртэлх зай 1/2-оос бага байж болохгүй
(-1) n-д хязгаарлалт байхгүй.

Бид тоо гэж таамагласан. Гэхдээ x хувьсагч нь мөн хязгааргүй хандлагатай байж болно.

Тодорхойлолт:Хэрэв for бол х хувьсагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг
тодорхой утга х жингээс эхлэн үлдсэн утгууд нь тэгш бус байдлыг хангана
. Variablex хандлагатай байна
, хэрэв ижил нөхцөлд x>M ба k - тэгш бус байдал , хэрэв ижил нөхцөлд x тэгш бус байдал<-M. Если переменная X стремится к бесконечности, то её называют хязгааргүй томмөн бичих

Жишээ: x=x n =n 2 . Авцгаая
>0. n 2 >M заавал биелүүлэх ёстой. n>
. n нь энэ тэгш бус байдлыг хангамагц бүх x n =n 2 хувьд тэгш бус байдал хангагдана. Тэгэхээр n 2
, эс тэгвээс n 2
.

§3. Функцийн хязгаар.

y=f(x) функцийн х аргумент нь x 0 буюу  хандлагатай байна гэж бид таамаглах болно.

Эдгээр тохиолдолд y функцийн зан төлөвийг авч үзье.

Тодорхойлолт.

y=f(x) функцийг x 0 цэгийн зарим хэсэгт тодорхойлъё. А тоо нь  бол xx 0 функцийн хязгаар гэж нэрлэгддэг, гэхдээ жижиг ч гэсэн бүх xx 0-д x-x 0  тэгш бус байдлыг хангахуйц  тоог зааж өгч болно.  f тэгш бус байдал хангагдсан (x)-A.

Хэрэв A нь f(x) функцийн хязгаар бол тэдгээр нь бичнэ
orf(x)A үед xx 0.

ТУХАЙ Тодорхойлолтыг ингэж дүрсэлж болно геометрийн хувьд.

Хэрэв A нь xx 0-ийн хувьд f(x)-ийн хязгаар юм бол А цэгийн дурын -хөршийг авбал бид x 0 цэгийн ийм -хөршийг үргэлж зааж өгч болно. f(x) функц нь А-аас -аас холгүй, өөрөөр хэлбэл. нь А цэгийн сонгосон -хөршд орох буюу ямар ч байсан -хөршөөс х цэгт харгалзах графикийн хэсэг бүхэлдээ 2 өргөнтэй туузан дотор оршдог.

 бага байх тусам  бага байх ёстойг харж болно.

Тодорхойлолт.

x аргументыг x 0 цэг рүү чиглүүлж xx 0 xx 0  утгуудыг авч үзье.Дараа нь f(x) функцийн ханддаг A 1 (A 2) тоо, х 0 цэгийн баруун (зүүн) эсвэл баруун гарт (зүүн гар) байрлах f(x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг.

lim x  x0+0 f(x)=A 1, (lim x  x0-0 f(x)=A 2) гэж бичсэн байна.

Хэрэв lim x  x0 f(x) = A байгаа бол энэ цэг дээр нэг талт хязгаар хоёулаа байх ба тэдгээр нь A 1 = A 2 = A тэнцүү болохыг баталж болно. Эсрэгээр: Хэрэв нэг талын хязгаар байгаа бөгөөд тэдгээр нь тэнцүү бол ерөнхий хязгаар байна. Хэрэв дор хаяж нэг нь байхгүй эсвэл тэдгээр нь тэнцүү биш бол функцийн хязгаар байхгүй болно.

Жишээ.

f(x)=3x-2 нь x1 дээр 1-тэй тэнцүү хязгаартай болохыг батал.

Ямар ч ? , х 3.

 гэж та дурын эерэг тоог авч болно /3; 0</3.

Тэд дурын -ийн хувьд /3-ыг авахад хангалттай гэдгийг тэд нотолсон бөгөөд ингэснээр 0х f(x)-1 гэсэн үг боловч энэ нь lim X  гэсэн үг юм. (3х-2)=1.

Тодорхойлолт.

Х
А тоог y=f(x) функцийн хязгаар гэж нэрлэнэ, хэрэв ямар нэгэн  (жижиг байсан ч) бол x-ийн хувьд эерэг P тоог зааж өгч болох бөгөөд x-ийн бүх утгуудын хувьд дараахь зүйлийг хангадаг. тэгш бус байдал xP тэгш бус байдал  f(x)-A.

lim x  f(x)=A гэж бич.

Геометрийн хувьд энэ нь дурын -ийн хувьд xp ба x-p-ийн функцийн график 2 өргөнтэй зурваст байрлана гэсэн үг.

Жишээ.

f(x)=1/x хувьд x, f(x)0.

Ямар ч 0 авсан ч xP ба x-P функцийн график 2 өргөнтэй зурваст байрлана.

1/х, 1/х, x1/, Р=1/.

Үүнтэй адил тодорхойлсон
f(x)=A 1 ба
f(x)=A 2. Эхний тохиолдолд xP-ийн хувьд f(x)-A 1 , хоёр дахь тохиолдолд x-P (P0)-ийн хувьд f(x)-A 2  тэгш бус байдлыг хангах ёстой. .

Тэгэхээр,
1/x=0, ба
1/x=0. Тэдний тэгш байдал нь ерөнхий хязгаарыг авч үзэх боломжийг бидэнд олгодог
1/x=0.

Болъё x – хувьсах хэмжигдэхүүн. Энэ нь үнэ цэнэ гэсэн үг юм xутгыг нь өөрчилдөг. Энэ нь түүнийг бусадтай харьцуулахад үндсэндээ ялгаатай болгодог зүйл юм тогтмол утга a, энэ нь өөрчлөгдөөгүй утгыг өөрчлөхгүй. Жишээлбэл, шонгийн өндөр нь тогтмол утга боловч амьд ургаж буй модны өндөр нь хувьсах утга юм.

Хувьсах утга xөгөгдсөн гэж үзвэл тоон дараалал өгөгдсөн

түүний утга. Энэ нь эдгээр үнэт зүйлс юм x 1 ; x 2 ;x 3 ;..., энэ нь түүний өөрчлөлтийн явцад дараалан хүлээн зөвшөөрөгддөг. Энэ үйл явц нь цар хүрээгээр өөрчлөгдөнө гэж бид таамаглах болно xтүүний утга нь ямар ч үе шатанд зогсдоггүй (хувьсагч Xхэзээ ч хөлддөггүй, "үргэлж амьд" байдаг). Энэ нь дараалал (1) нь (1)-д эллипсээр тэмдэглэгдсэн хязгааргүй тооны утгатай гэсэн үг юм.

Хувьсагчийн утгыг байгалийн аргументийн функцийн утгуудын багц гэж үзэж болно x n =f(n). Гишүүн x nдарааллын нийтлэг гишүүн гэж нэрлэдэг. Хэрэв гишүүдийн аль нэгийг нь мэдэгдэж буй тоогоор нь тооцоолох аргыг өгсөн бол дарааллыг өгсөн гэж үзнэ.

Жишээ 1: Нийтлэг гишүүн бол дарааллын эхний арван гишүүнийг бич.

Шийдэл:Утга өгөгдсөн бутархайн утгыг тооцоолох n 1,2,3,…10-тай тэнцүү бол бид дараахь зүйлийг авна.

Ерөнхийдөө нийтлэг нэр томъёо бүхий дарааллыг дараах байдлаар бичнэ.

Мэдээжийн хэрэг, хэмжээсийн өөрчлөлтийн шинж чанарын талаар сонирхол үүсдэг xтэдгээрийн утга. Өөрөөр хэлбэл, асуулт гарч ирнэ: эдгээр үнэ цэнэ нь системгүй, эмх замбараагүй эсвэл ямар нэгэн байдлаар зориудаар өөрчлөгддөг үү?

Гол сонирхол нь мэдээжийн хэрэг, хоёр дахь хувилбар юм. Тухайлбал, үнэт зүйлсийг зөвшөөрөх x nхувьсагч xтэдний тоо нэмэгдэх тусам nхязгааргүй ойртож байна ( хичээх) тодорхой тоогоор а. Энэ нь утгуудын хоорондын зөрүү (зай) гэсэн үг юм x nхувьсагч xболон тоо агэрээ, энэ нь өсөх тусам хандлагатай n( at ) хүртэл тэг. "Хайж байна" гэсэн үгийг сумаар сольж, дээрхийг дараах байдлаар бичиж болно.

At<=>үед (2)

Хэрэв (2) байвал бид үүнийг хэлнэ х хувьсагч нь a дугаарлах хандлагатай байдаг. Энэ тоо Адуудсан х хувьсагчийн хязгаар. Мөн дараах байдлаар бичигдсэн байна.

Уншсан: хязгаар х нь a(x нь а руу чиглэдэг).

Аспирацийн хувьсагч xтаны хязгаарт атооны тэнхлэг дээр тодорхой дүрсэлж болно. Энэ хүслийн яг математик утга xруу агэдэг нь эерэг тоо хэчнээн бага байхаас үл хамааран, тиймээс интервал хэр бага байсан ч хамаагүй мөн тооны шулуун дээрх тоог тойруулж болохгүй а, энэ интервалд (тооны хөрш гэж нэрлэгддэг а) тодорхой тооноос эхлэн цохих болно Н, бүх утгууд x nхувьсагч x. Ялангуяа Зураг дээр. 1-ийг дугаарын дүрсэлсэн хөрш рүү оруулна абүх үнэт зүйлсийг авсан x nхувьсагч x, тооноос эхлэн .

Тодорхойлолт:Тоо Адарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг (хувьсагчийн хязгаар Xэсвэл функцийн хязгаар f(n)), хэрэв урьдчилан тодорхойлсон эерэг тоо ямар ч байсан, ийм натурал тоог олох боломжтой Н, энэ нь тоо бүхий дарааллын бүх гишүүдэд зориулагдсан н>Нтэгш бус байдлыг хангах болно.

Энэ тэгш бус байдал нь дараах хоёр тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. . Тоо Нсонгосон хүнээс хамаарна. Хэрэв та тоог багасгах юм бол харгалзах тоо Ннэмэгдэх болно.

Дарааллын хувьд (эсвэл хувьсагчийн хувьд X) хязгаартай байх албагүй, гэхдээ энэ хязгаар байгаа бол энэ нь цорын ганц юм. Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нэгдэх. Хязгааргүй дарааллыг дуудна ялгаатай.

Хувьсах утга x,янз бүрийн аргаар хязгаарыг нь оролдож болно:

1. хязгаараасаа доогуур байх,

2. хязгаараасаа хэтэрсэн байх,

3. хязгаарын эргэн тойронд хэлбэлзэх,

4. хязгаартай тэнцүү утгыг авах.

Дугаарын сонголт нь дур зоргоороо байдаг боловч нэгэнт сонгогдсон тохиолдолд цаашид ямар ч өөрчлөлт орох ёсгүй.

Хувьсагч xхязгаар нь тэг байх (өөрөөр хэлбэл, тэг рүү тэмүүлэх) гэж нэрлэдэг хязгааргүй жижиг. Хувьсагч x, үнэмлэхүй утгаараа хязгааргүй өсөх гэж нэрлэдэг хязгааргүй том(түүний модуль нь хязгааргүй хандлагатай байдаг).

Тэгэхээр, хэрэв тийм бол xнь хязгааргүй бага хувьсах хэмжигдэхүүн бөгөөд хэрэв x– хязгааргүй их хувьсах хэмжигдэхүүн. Тодруулбал, хэрэв эсвэл , дараа нь x– хязгааргүй их хувьсах хэмжигдэхүүн.

Хэрэв бол . Мөн эсрэгээр бол , Тэр . Эндээс бид хувьсагчийн хоорондох дараах чухал холболтыг олж авна xба түүний хязгаар а:

Хувьсагч бүр биш гэдгийг аль хэдийн хэлсэн xхязгаартай. Олон хувьсагчдад хязгаарлалт байхгүй. Энэ нь байгаа эсэх нь энэ хувьсагчийн утгуудын дараалал (1) -ээс хамаарна.

Жишээ 2 . Болъё

Энд байгаа нь ойлгомжтой.

Жишээ 3 . Болъё

x- хязгааргүй жижиг.

Жишээ 4 . Болъё

Энд байгаа нь ойлгомжтой. Тиймээс хувьсагч x- хязгааргүй том.

Жишээ 5 . Болъё

Энд хувьсагч байгаа нь ойлгомжтой xюунд ч тэмүүлдэггүй. Энэ нь хязгааргүй (байхгүй) гэсэн үг юм.

Жишээ 6 . Болъё

Хувьсагчийн хязгаартай холбоотой нөхцөл байдал энд байна xөмнөх дөрвөн жишээн дээрх шиг тийм ч тодорхой биш. Энэ байдлыг тодруулахын тулд үнэт зүйлсийг өөрчилье x nхувьсагч x:

Мэдээжийн хэрэг, цагт. гэсэн үг,

цагт.

Мөн энэ нь тэр гэсэн үг юм.

Жишээ 7 . Болъё

Энд дараалал ( x n) хувьсах утгууд xхуваарьтай хязгааргүй геометр прогрессийг илэрхийлнэ q. Тиймээс хувьсагчийн хязгаар xнь хязгааргүй геометр прогрессийн хязгаар юм.

a) Хэрэв , тэгвэл, ойлгомжтой, цагт. Энэ нь () гэсэн үг юм.

б) Хэрэв , тэгвэл . Өөрөөр хэлбэл, энэ тохиолдолд хувьсагчийн утгууд xөөрчлөгдөхгүй - тэд үргэлж 1-тэй тэнцүү байна. Дараа нь түүний хязгаар нь 1-тэй тэнцүү байна ().

в) Хэрэв , тэгвэл . Энэ тохиолдолд энэ нь байхгүй нь ойлгомжтой.

d) Хэрэв , тэгвэл төгсгөлгүй өсөх эерэг тооны дараалал байна. Юу гэсэн үг вэ гэхээр ().

e) Хэрэв , дараа нь тэмдэглэгээг оруулбал, бид дараахь зүйлийг олж авна: – абсолют утгаараа хязгааргүй нэмэгдэж буй нэр томъёо бүхий ээлжлэн тоон дараалал:

Энэ нь хувьсагч гэсэн үг xхязгааргүй том. Гэхдээ гишүүдийн тэмдэг ээлжлэн солигддог тул +∞ ч, –∞ ч биш (хязгаарлалт байхгүй).

Жишээ 8. Нийтлэг гишүүнтэй дараалал нь 2-той тэнцүү хязгаартай болохыг батал.

Нотолгоо:Дурын эерэг тоог сонгоод ийм тоог сонгох боломжтой гэдгийг харуулъя Н, энэ нь тооны бүх утгын хувьд n, энэ тооноос их байна Н, тэгш бус байдал хангагдах болно, үүнд бид авах ёстой a=2, , i.e. тэгш бус байдлыг хангах болно .

Энэхүү тэгш бус байдлаас бид хаалтанд нийтлэг хуваагч болгон бууруулсны дараа . Тиймээс: . Ард нь НИнтервалд хамаарах хамгийн бага бүхэл тоог авъя. Тиймээс бид дур зоргоороо өгөгдсөн эерэг зүйлээс ийм байгалийн байдлыг тодорхойлж чадсан Нтэр тэгш бус байдал бүх тоогоор гүйцэтгэнэ н>Н. Энэ нь 2 нь нийтлэг гишүүнтэй дарааллын хязгаар гэдгийг баталж байна.

Ялангуяа сонирхолтой нь монотон, хязгаарлагдмал дараалал юм.

Тодорхойлолт: монотон нэмэгдэж,хүн бүрийн өмнө бол nтүүний гишүүн бүр өмнөхөөсөө илүү, өөрөөр хэлбэл. хэрэв , мөн түүний нөхцөл бүр өмнөхөөсөө бага байвал монотон буурах, i.e. .

Жишээ 9.Натурал тоонуудын дараалал 1,2,3,…., n,… - нэг хэвийн өсөлт.

Жишээ 10. Тоонуудын дараалал, натурал тоонуудын эсрэг, - монотон буурч байна.

Тодорхойлолт:дараалал гэж нэрлэдэг хязгаарлагдмал,хэрэв түүний бүх нөхцөл хязгаарлагдмал интервалд байвал (-М,+М)Тэгээд M>0, өөрөөр хэлбэл хэрэв , дурын тооны хувьд n.

Жишээ 11. Дараалал (xn), Хаана x nБайна nтооны аравтын бутархай нь хязгаарлагдмал, учир нь .

Жишээ 12. Дараалал нь хязгаарлагдмал учир .

Хувьсагчийн үндсэн шинж чанар, тэдгээрийн хязгаар

1) Хэрэв (хувьсагч xөөрчлөгддөггүй ба тогтмолтой тэнцүү а), тэгвэл гэж үзэх нь зүйн хэрэг бөгөөд . Өөрөөр хэлбэл тогтмолын хязгаар нь өөртэй нь тэнцүү байна:

2) Хэрэв , ба аТэгээд бтэгвэл хязгаарлагдмал . Тэр бол

Тооны дараалал.

Тооны дарааллаар дамжих хувьсагч

Хэрэв натурал тоо бүрийн хувьд nбодит дугаар өгсөн x n, өөрөөр хэлбэл

1, 2, 3, 4, …, n, …

x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , …, x n , …

тэгээд нийтлэг гишүүнтэй тооны дараалал өгөгдсөн гэж хэлдэг x n. Дараах зүйлд бид хувьсагч өгөгдсөн гэж хэлэх болно x, нийтлэг гишүүнтэй тооны дарааллаар ажиллаж байна x n. Энэ тохиолдолд бид энэ хувьсагчийг тэмдэглэнэ x n. Хувьсах утгууд x nтооны тэнхлэг дээрх цэгүүдээр илэрхийлэгдэнэ.

Жишээлбэл, хувьсагчдыг өгсөн:

: эсвэл ;

: 1, 4, 6, …, 2n ..

Тоо Адуудсан x n хувьсагчийн хязгаар , хэрэв дурын жижиг ε > 0 тооны хувьд ийм натурал тоо байгаа бол Н x n, хэний дугаар nилүү тоо Н, тэгш бус байдлыг ханга.

Энэ баримтыг бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичжээ.

Геометрийн хувьд энэ нь хувьсагчийн утгыг илэрхийлэх цэгүүд гэсэн үг юм x n, өтгөрүүлэх, цэгийн эргэн тойронд хуримтлагдах А.

Хэрэв хувьсагч хязгаартай бол энэ нь цорын ганц гэдгийг анхаарна уу. Тогтмол хэмжигдэхүүний хязгаар нь тогтмол өөрөө юм, i.e. , Хэрэв c=const. Хувьсагч нь хязгааргүй байж болно.

Жишээлбэл, хувьсагч x n =(-1) nхязгааргүй, өөрөөр хэлбэл. Хувьсагчийн утгууд хуримтлагддаг ганц тоо байдаггүй. Геометрийн хувьд энэ нь ойлгомжтой .

Хязгаарлагдмал хувьсагч

Хувьсагч x nдуудсан хязгаарлагдмал , хэрэв ийм тоо байгаа бол М> 0, аль нь | x n| < Мбүх тооны хувьд n.

Хувьсагч өгөгдсөн. Тоо болгон Мта жишээ нь 3-ыг авч болно. Мэдээжийн хэрэг, бүх тооны хувьд n. Тиймээс хязгаарлагдмал хувьсагч юм.

Хувьсагч x n = 2nхязгааргүй, учир нь тоо нэмэгдэх тусам nтүүний үнэ цэнэ нэмэгдэж, ийм тоог олох боломжгүй юм М> 0-ээс |2 хүртэл n| < Мбүх тооны хувьд n.

Теорем. Хэрэв хувьсагч хязгаарлагдмал хязгаартай бол хязгаарлагдмал байна.

Эсрэг теорем нь үнэн биш юм.

Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүд

Хувьсагч x nдуудсан хязгааргүй жижиг , хэрэв түүний хязгаар 0 бол.

Жишээлбэл, хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүд нь:

Учир нь;

Учир нь

Хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй бага биш, энэ нь хязгаарлагдмал хэмжигдэхүүн юм.

Хязгааргүй тооны хязгааргүй тоонуудын нийлбэр (ялгаа) нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн юм.

Хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг тогтмол хэмжигдэхүүнээр эсвэл хязгааргүй цөөн тоогоор эсвэл хязгаартай хэмжигдэхүүнээр үржүүлсэн үржвэр нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн юм.

Хязгааргүй их хэмжээгээр

Хувьсагч x nдуудсан хязгааргүй том , хэрэв дурын тооны хувьд A>0, ийм натурал тоо байдаг Н, хувьсагчийн бүх утгууд x n, хэний дугаар н>Н, тэгш бус байдлыг ханга.

Энэ тохиолдолд тэд бичнэ эсвэл.

Жишээлбэл, дараах хувьсагчид хязгааргүй том байна:

x n = n 2 : 1,4,9,16,…; x n = -5n: -5, -10, -15, -20, …;

x n = (-1) n × n: -1, 2, -3, 4, -5, 6, … .

Эдгээр хувьсагчийн утгын хэмжээ хязгааргүй нэмэгдэж байгааг харж болно.

, , .

Хязгааргүй том хэмжээтэй буюу хязгаартай хэмжигдэхүүний үржвэр нь хязгааргүй их хэмжигдэхүүн юм.

Нэг тэмдгийн хязгааргүй их тооны нийлбэр нь хязгааргүй их байна.

Төгсгөлгүй томын эсрэг тал нь хязгааргүй жижиг.

Хязгааргүй жижиг зүйлийн эсрэг тал нь хязгааргүй том юм.

Сэтгэгдэл.

Хэрэв, А- тоо, тэгвэл тэд ингэж хэлдэг x nБайгаа хязгаарлагдмалхязгаар.

Хэрэв тийм бол тэд ингэж хэлдэг x nБайгаа эцэс төгсгөлгүйхязгаар.

Хувьсагчид дээр хийх арифметик үйлдлүүд

Хэрэв хувьсагч x nТэгээд у ннь хязгаарлагдмал хязгаартай бол тэдгээрийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр, хэсэг нь мөн төгсгөлтэй хязгаартай байх ба хэрэв ба дараа нь

(4.3)

Сэтгэгдэл: , c = const.

Тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс давж авч болно.

Чиг үүрэг

Хоёр хувьсагчийг өгье xТэгээд y.

Хувьсагч yдуудсан функц хувьсагчаас x, хэрэв утга тус бүр xтодорхой багцаас тодорхой хуулийн дагуу тодорхой утга тохирно y.

Хаана xдуудсан бие даасан хувьсагчэсвэл маргаан , y – хамааралтай хувьсагчэсвэл функц . Заасан: у = f(x)эсвэл y=y(x).

ОХУ-ын БОЛОВСРОЛ, ШИНЖЛЭХ УХААНЫ ЯАМ "ҮНДЭСНИЙ СУДАЛГААНЫ ТОМСКИЙН ПОЛИТЕХНИКИЙН ИХ СУРГУУЛЬ" МЭРГЭЖЛИЙН ДЭЭД БОЛОВСРОЛЫН УЛСЫН БОЛОВСРОЛЫН БАЙГУУЛЛАГА Л.И. Самочернова ДЭЭД МАТЕМАТИК II хэсэг Томскийн Политехникийн Их Сургуулийн Редакци, Хэвлэлийн Зөвлөлөөс сурах бичиг болгон санал болгосон 2-р хэвлэл, Томскийн Политехникийн Их Сургуулийн шинэчилсэн хэвлэлийн газар 2005 UDC 514.12 C17 Samochernova L.I. C17 Дээд математик. II хэсэг: сурах бичиг / L.I. Само-чернова; Томскийн Политехникийн их сургууль. – 2-р хэвлэл, Илч. – Томск: Томскийн политехникийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2005. – 164 х. Сурах бичигт дээд математикийн гурван хэсэг багтсан: 1) математик анализын удиртгал (дараалал ба функцийн хязгаар, хязгааргүй жижиг ба хязгааргүй их хэмжигдэхүүн, хязгааргүй жижиг тоонуудын харьцуулалт, функцийн тасралтгүй байдал, тасалдлын цэг); 2) нэг хувьсагчийн функцийн дифференциал тооцоо (функцийн дериватив ба дифференциал, функцийг судлахад дифференциал тооцооллын хэрэглээ); 3) интеграл тооцоо (тодорхойгүй интеграл, тодорхой интеграл, тодорхой интегралын геометрийн хэрэглээ). Уг гарын авлагыг Хэрэглээний математикийн тэнхимд бэлтгэсэн бөгөөд 080400 “Хүний нөөцийн менежмент”, 080200 “Менежмент”, 080100 “Эдийн засаг”, 100700 “Худалдаа” чиглэлээр суралцаж буй гадаад боловсролын оюутнуудад зориулагдсан болно. UDC 514.12 Шүүмжлэгч Физик-математикийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч, СУИС-ийн Алгебрийн тэнхимийн дэд профессор С.Я. Гриншпон Техникийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч, ТУСУР-ын удирдлагын системийн факультетийн дэд профессор А.И. Кочегуров © Томскийн Политехникийн их сургууль, 2005 © Samochernova L.I., 2005 © Дизайн. Томскийн Политехникийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2005 2 1. МАТЕМАТИК ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ОРШИЛ 1.1. Тоон дараалал ба түүний хязгаар Тодорхойлолт 1. Хэрэв зарим хуулийн дагуу n натурал тоо бүр нь сайн тодорхойлогдсон xn тоотой холбоотой бол бид тоон дараалал (xn) өгөгдсөн гэж хэлнэ: x1,x2, x3,. ..,xn,. .. (1.1) Өөрөөр хэлбэл тооны дараалал нь натурал аргументын функц юм: xn = f(n). Дарааллыг бүрдүүлэгч тоонуудыг түүний гишүүд гэж нэрлэдэг ба xn нь дарааллын нийтлэг буюу n-р гишүүн юм. Тоон дарааллын жишээ: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... Энэ дарааллын хувьд x1 = 2, x2 = 4, x3 = 6,..., x n = 2n нь нийтлэг гишүүн юм. тэгш тоонуудын дараалал. n Жишээ 1. xn = дарааллын ерөнхий гишүүнийг мэдэж, n+2 эхний таван гишүүнийг бич. Шийдэл. n-д 1, 2, 3, 4, 5 утгыг өгвөл бид 1 2 3 4 5 x1 = авна; x2 =; x3 =; x4 =; x5 =. 3 4 5 6 7 n Ерөнхийдөө xn = нийтлэг гишүүнтэй дарааллыг дараах байдлаар бичнэ: n+2 1 2 3 4 n ,...,... 3 4 5 6 n+2 xn-ээс хойш гэдгийг анхаарна уу. =f(n) нь функц, өөрөөр хэлбэл ерөнхийдөө хувьсах хэмжигдэхүүн юм, тэгвэл хялбар болгох үүднээс бид xn функцийг хувьсах хэмжигдэхүүн эсвэл зүгээр л xn хувьсагч гэж нэрлэх болно. Хязгаарлагдмал ба хязгааргүй дараалал Тодорхойлолт 2. (xn) дарааллын xn элемент бүр xn ≤ M ( тэгш бус байдлыг хангахуйц бодит тоо M (тоо m) байвал дарааллыг (хn) дээрээс (доороос) хязгаарлагдмал гэж нэрлэдэг. xn ≥ m). Энэ тохиолдолд M тоог (m тоо) дарааллын дээд хязгаар (доод хязгаар) гэж нэрлэдэг бөгөөд xn ≤ M (xn ≥ m) тэгш бус байдлыг дээрээс нь хязгаарлах нөхцөл гэнэ. (доороос). 3 Тодорхойлолт 3. Дараалал нь дээр болон доор хоёулангаар нь хязгаарлагдсан, өөрөөр хэлбэл энэ дарааллын аль ч xn элемент нь тэгш бус байдлыг хангахуйц m ба M тоонууд байгаа бол дарааллыг хоёр талдаа хязгаарлагдмал буюу энгийнээр хязгаарлагдсан гэж нэрлэдэг: m ≤ xn ≤ M. Хэрэв дараалал (xn) хязгаарлагдмал бөгөөд M ба m нь түүний дээд доод хязгаар бол энэ дарааллын бүх элементүүд xn ≤ A тэгш бус байдлыг хангана, (1.2) энд А нь хоёр тооны хамгийн их |M| ба |м|. Эсрэгээр, (xn) дарааллын бүх элементүүд (1.2) тэгш бус байдлыг хангаж байвал − A ≤ xn ≤ A тэгш бус байдал бас биелэх ба иймээс (xn) дараалал нь хязгаарлагдмал байна. Тиймээс (1.2) тэгш бус байдал нь дарааллын хязгаарлагдмал байдлын нөхцлийн өөр нэг хэлбэр юм. Хязгааргүй дарааллын тухай ойлголтыг тодруулцгаая. Хэрэв ямар нэгэн эерэг А тооны хувьд xn > A тэгш бус байдлыг хангадаг энэ дарааллын xn элемент байвал дарааллыг (xn) хязгааргүй гэж нэрлэдэг. 2n Жишээ: 1. Бүх n-ийн хувьд 2n 2n xn = (− 1)n ⋅ ⋅ sin 3n ≤ тэгш бус байх тул xn = (− 1)n sin 3n n +1 нийтлэг гишүүнтэй дараалал нь хязгаарлагдмал байна.< 2 (A = 2). n +1 n +1 2. Последовательность 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., общий член которой xn = n , очевидно, неограниченная. В самом деле, каково бы ни было положительное число А, среди элементов этой последовательности найдутся элементы, пре- восходящие А. Монотонные последовательности Определение 4. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый последующий член этой последовательно- сти не меньше (не больше) предыдущего, то есть для всех номеров n спра- ведливо неравенство xn ≤ xn +1 (xn ≥ xn +1) . Неубывающие и невозрастающие последовательности объединяются общим наименованием монотонные последовательности. Если элементы монотонной последовательности {xn } для всех номеров n удовлетворяют не- равенству xn < xn +1 (xn >xn +1), дараа нь (xn) дарааллыг нэмэгдүүлэх (буурах) гэж нэрлэдэг. Өсөх, буурах дарааллыг мөн хатуу монотон гэж нэрлэдэг. Жишээ 2. xn = 2n − 1 байх сондгой тооны 1, 3, 5, 7, ..., 2n–1, ... дараалал нь нэгэн хэвийн нэмэгдэж байна. 4 Үнэхээр xn +1 − xn = − (2n − 1) = 2, тэгэхээр xn +1 − xn > 0, өөрөөр хэлбэл бүх n-ийн хувьд xn +1 > xn байна. Дарааллын хязгаар Математик шинжилгээний хамгийн чухал ойлголтуудын нэг болох дарааллын хязгаар, эсвэл яг юу вэ гэвэл x1,x2,...,xn, дарааллаар дамжих xn хувьсагчийн хязгаарыг тодорхойлъё. ... Тодорхойлолт 5. Тогтмол а тоог x1,x2 ,...,xn,... хязгаарын дараалал буюу xn хувьсагчийн хязгаар гэнэ, хэрэв дурын жижиг эерэг тоо ε-д натурал тоог зааж өгч болно. n>N тоотой дарааллын бүх гишүүдийн хувьд та - xn − a тэгш бус байдал биелэх N байна.< ε. (1.3) Тот факт, что последовательность (1.1) имеет своим пределом число а, обо- значается так: lim xn = a или xn → a ; n→∞ n→∞ (lim есть сокращённое обозначение латинского слова limes, означающего «предел»). Последовательность, имеющую пределом число а, иначе называют по- следовательностью, сходящейся к а. Последовательность, не имеющая пре- дела, называется расходящейся. Замечание. Величина N зависит от ε, которое мы выбираем произволь- ным образом (N=N(ε)). Чем меньше ε, тем N, вообще говоря, будет больше. Исключением является случай, когда последовательность состоит из одина- ковых членов. 1 2 3 n Пример 3. Доказать, что последовательность, L,L 2 3 4 n +1 n с общим членом xn = имеет предел, равный 1. n +1 Решение. Выберем произвольно положительное число ε и покажем, что для него можно найти такое натуральное число N, что для всех номеров n >N тэгш бус байдал (1.3) хангагдах бөгөөд үүнд бид =1 авах ёстой; n xn =, өөрөөр хэлбэл n +1 n 1− тэгш бус байдал< ε. (1.4) n +1 После приведения к общему знаменателю в левой части неравенства (1.4) получим 5 n +1− n 1 < ε или < ε. n +1 n +1 Но если 1 /(n + 1) < ε, то и 1 /(n + 1) < ε. Из последнего неравенства следу- ет, что n + 1 >1/ε, n > 1/ε–1. Иймээс N-ийг (1/ε – 1), өөрөөр хэлбэл E(1/ε – 1)-д агуулагдах хамгийн том бүхэл тоо гэж авч болно. Тэгвэл бүх n >N хувьд тэгш бус байдал (1.4) хангагдана. Хэрэв E(1/ε – 1) ≤ 0 гэж гарвал N-ийг 1-тэй тэнцүү авч болно. ε-г дур мэдэн авсан тул 1 нь xn = n нийтлэг гишүүнтэй дарааллын хязгаар болохыг баталж байна /( n + 1). Тодруулбал, хэрэв ε = 0.01 бол N = E (1 / 0.01 - 1) = E (100 – 1) = 99; хэрэв ε=1/2 бол N=E (1 / 0.5 − 1)=1 гэх мэт. ε-ийн өөр утгуудын хувьд ийм байдлаар сонгосон N нь хамгийн бага байх болно. Тоон дарааллын хязгаарын геометрийн тайлбар Тооны дарааллыг (1.1) шулуун дээрх цэгүүдийн дараалал гэж үзэж болно. Үүнтэй адил бид хязгаарыг шугамын цэг гэж ярьж болно. xn − a тэгш бус байдлаас хойш< ε равносильно неравенству – ε < xn − a < ε, которое, в свою очередь, равносильно такому a – ε < xn < a + ε, то определение предела числовой последовательности можно сформулировать и так. Определение 6. Точка а называется пределом последовательности то- чек (1.1), если, какую бы окрестность (a – ε, a + ε) точки а мы ни задали, найдётся такое число N, что все точки последовательности (1.1) с номерами n >N нь тухайн хороололд орох болно. a, a – ε, a + ε тоонууд болон xn хувьсагчийн утгуудыг тооны тэнхлэг дээрх цэг болгон төлөөлүүлье (Зураг 1). Геометрийн хувьд n > N нөхцөлд тэгш бус байдал (1.3) биелнэ гэдэг нь x N +1 цэгээс, өөрөөр хэлбэл индекс нь N натурал тооноос давсан цэгээс эхлэн бүх xn цэгүүд ε-т байх нь гарцаагүй гэсэн үг юм. хөршийн цэгүүд a. Энэ хөршийн гадна талд xn цэгүүд байсан ч тэдгээрийн зөвхөн хязгаарлагдмал тоо байх болно. Цагаан будаа. 1 Монотон дарааллын нийлэлтийг шалгах тест Теорем 1. Өсдөггүй (буурдаггүй) дараалал (xn) буюу доороос (дээрээс) хязгаарлагдсан xn хувьсагч бүр хязгаартай байдаг. 6 1.2. Хязгааргүй бага ба хязгааргүй их хэмжигдэхүүн Тодорхойлолт 1. xn хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү хязгаартай бол түүнийг хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн гэнэ. Хязгаарын тодорхойлолтыг дагаж, дурын жижиг ε > 0-ийн хувьд N байвал бүх n > N-ийн хувьд xn тэгш бус байдал үүссэн бол xn нь хязгааргүй жижиг болно гэж хэлж болно.< ε. Иначе говоря, бесконечно малой называется такая переменная величина xn , которая при своём изменении, на- чиная с некоторого номера n, становится и остаётся по абсолютной величине меньше любого наперёд заданного числа ε >0. Хязгааргүй жижиг тоонуудын жишээ нь q-н хувьд 1 1 (−1) n xn =, xn = − , xn =, xn = q n хувьсагч юм.< 1 и другие. n n n Пример 1. Доказать, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Решение. (−1) n 1 Возьмем произвольное ε >0. xn = = тэгш бус байдлаас< ε полу- n n чаем n >1/ε. Хэрэв бид N = E(1/ε) гэж авбал n > N-ийн хувьд бид xn-тэй болно< ε. При 1 ε= получим N = E(10) = 10, при ε = 4 / 15 получим N = E (15 / 4) = 3 и т. д. 10 А это и значит, что xn = (− 1)n есть бесконечно малая. n Замечание 1. Нельзя смешивать постоянное очень малое число с бес- конечно малой величиной. Единственным числом, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, служит нуль (в силу того, что предел постоянной равен ей самой). Определение 2. Переменная величина xn называется бесконечно большой величиной, если для любого наперед заданного сколь угодно боль- шого числа M >0 бүх n > N тоонуудын хувьд xn > M тэгш бус байдал биелэхээр натурал N тоог зааж өгч болно.Өөрөөр хэлбэл, тодорхой тооноос эхлэн дараагийн бүх тоонуудын хувьд xn хувьсагч болж, хэвээр байвал түүнийг хязгааргүй том гэж нэрлэдэг. абсолют утгаараа ямар ч урьдчилан тодорхойлсон эерэг тоо M-ээс их байна. Хязгааргүй том хувьсагч xn нь хязгааргүй хандлагатай эсвэл хязгааргүй хязгаартай гэж хэлэх ба тэдгээр нь: xn → ∞ эсвэл lim xn = ∞ гэж бичдэг. n →∞ n →∞ 7 “хязгааргүй хязгаар” гэсэн шинэ ойлголт гарч ирсэнтэй холбогдуулан бид өмнө нь тодорхойлсон утгаараа хязгаарыг хязгаарлагдмал хязгаар гэж нэрлэхийг зөвшөөрч байна. Жишээ 2. -1, 2, -3, 4, -5, ..., (− 1)n n, K утгуудыг дараалан авч үзвэл xn = (− 1)n ⋅ n хэмжигдэхүүн нь хязгааргүй их байна. Үнэхээр xn = (− 1)n n = n . Эндээс харахад M тоо ямар ч байсан, заримаас нь эхлэн бүх n-ийн хувьд xn = n > M, өөрөөр хэлбэл lim xn = ∞ байх нь тодорхой байна. n →∞ Тодорхойлолт 3. Ямар ч M тоонд n > N бүх тоонуудын хувьд xn > M тэгш бус байдал хангагдахаар натурал N тоог зааж өгч чадвал xn хувьсах хэмжигдэхүүнийг эерэг хязгааргүй их хэмжигдэхүүн гэнэ.Энэ тохиолдолд хувьсагч хэмжигдэхүүнийг xn гэж нэмэх нь хязгааргүй байх хандлагатай бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичнэ: xn → +∞ эсвэл lim xn = +∞. n→∞ n →∞ Тодорхойлолт 4. Ямар ч M тоонд n >N бүхний хувьд xn тэгш бус байдал хангагдахаар натурал N тоог зааж өгч чадвал xn хувьсагчийг сөрөг хязгааргүй их хэмжигдэхүүн гэнэ.<М. В этом случае говорят, что переменная величина xn стремится к минус бесконечности и записывают это так: xn → −∞ или lim xn = −∞ . n→∞ n →∞ Так, например, xn = n будет положительной, а xn = −n – отрицательной бесконечно большой величиной. Переводя предыдущие определения на геометрический язык, мы можем сказать: если xn – бесконечно большая величина, то, как бы ни был велик сегмент длины 2М (М > 0) координатын гарал үүслийн төвтэй, хязгааргүй их хэмжээний утгыг илэрхийлдэг xn цэг нь хангалттай их n тоотой нь заасан сегментийн гадна байх ба n нь цааш өсөхөд түүний гадна үлдэх болно ( Зураг 2). Түүнээс гадна, хэрэв xn нь эерэг (сөрөг) хязгааргүй их хэмжигдэхүүн бол түүний утгыг илэрхийлэх цэг нь гарал үүслийн баруун (зүүн) талд заасан сегментийн гадна байгаа хангалттай том n тоонуудын хувьд байх болно. Цагаан будаа. 2 8 Тайлбар 2. 1. ∞, + ∞, − ∞ тэмдэгтүүд нь тоо биш бөгөөд зөвхөн тэмдэглэгээг хялбарчлах, хувьсагч нь хязгааргүй том, эерэг хязгааргүй том, сөрөг хязгааргүй том гэдгийг товч илэрхийлэх зорилгоор оруулсан болно. Эдгээр тэмдэгтүүд дээр арифметик үйлдэл хийх боломжгүй гэдгийг хатуу санах хэрэгтэй! 2. Тогтмол маш их тоог хязгааргүй их утгатай хольж болохгүй. Хязгааргүй их ба хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарал Теорем 1. xn ≠0 (ямар ч n хувьд) байг. Хэрэв xn хязгааргүй том бол yn = 1 / xn нь хязгааргүй жижиг; хэрэв xn хязгааргүй жижиг бол yn = 1 / xn нь хязгааргүй том байна. 1.3. Хувьсах хэмжигдэхүүн дээрх арифметик үйлдлүүд. Хувьсагчийн хязгаарын тухай үндсэн теоремууд (дараалал) Хувьсагчид дээр хийх арифметик үйлдлийн тухай ойлголтыг танилцуулъя. x1, x2, x3, ..., xn, ..., y1, y2, y3, ..., yn, ... гэсэн хоёр хувьсах хэмжигдэхүүнийг xn ба yn гэж авч үзье. Өгөгдсөн хоёр xn ба yn хувьсагчийн нийлбэрийг хувьсагч гэж ойлгодог бөгөөд тэдгээрийн утга тус бүр нь xn ба yn хувьсагчдын харгалзах (ижил тоотой) утгуудын нийлбэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, нэг хувьсагч юм. x1 + y1, x2 + y2, K, xn + yn , K утгуудын дараалал Бид энэ хувьсагчийг xn + yn гэж тэмдэглэнэ. Ямар ч тооны хувьсагчийн нийлбэр, тэдгээрийн үржвэр, түүнчлэн хоёр хувьсагчийн зөрүү ба тэдгээрийн коэффициентийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно. Тиймээс xn + y n, xn − y n, xn ⋅ y n ба x n / y n гэсэн шинэ хувьсагчид гарч ирнэ. (Сүүлийн тохиолдолд, наад зах нь зарим тооноос yn ≠0, xn / yn хэсгийг зөвхөн ийм тоонуудад тооцно гэж үздэг). Үүний нэгэн адил эдгээр тодорхойлолтуудыг дарааллын дагуу томъёолдог. 9 Хувьсагчдын хязгаарын тухай теорем Теорем 1. xn хувьсагч нь зөвхөн нэг хязгаартай байж болно. Хязгаар ба хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнтэй хувьсагчдын хооронд холбоо байдаг. Теорем 2. Хязгаарлалттай хувьсах хэмжигдэхүүнийг түүний хязгаар ба зарим хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний нийлбэрээр илэрхийлж болно. Теорем 3 (теорем 2-ын эсрэг). Хэрэв xn хувьсагчийг xn = a + α n гэсэн хоёр гишүүний нийлбэрээр дүрсэлж чадвал (1.5) a нь тодорхой тоо, α n нь хязгааргүй жижиг тоо бол a нь xn хувьсагчийн хязгаар болно. Теорем 4. Хэрэв xn хувьсагч нь хязгаарлагдмал хязгаартай бол энэ нь хязгаарлагдмал байна. Үр дагавар. Хязгааргүй жижиг хувьсагч хязгаарлагдмал. Лемма 1. Аливаа (гэхдээ хязгаарлагдмал) тооны хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн алгебрийн нийлбэр нь мөн л хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн юм. Лемма 2. Хязгаарлагдмал хувьсагч xn ба хязгааргүй бага α n-ийн үржвэр нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн юм. Дүгнэлт 1. Аливаа хязгаартай тооны хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэр нь хязгааргүй бага хэмжигдэхүүнийг илэрхийлнэ. Үр дүн 2. Тогтмол хэмжигдэхүүн ба хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн үржвэр нь хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн юм. Дүгнэлт 3. Хязгаарт чиглэсэн хувьсах хэмжигдэхүүн ба хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний үржвэр нь хязгааргүй бага хэмжигдэхүүн юм. Лемма 1 ба 2-ыг ашиглан бид хязгаарын талаархи дараах теоремуудыг баталж чадна. Теорем 5. Хэрвээ xn, yn хувьсагчид төгсгөлтэй хязгаартай бол тэдгээрийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр нь мөн төгсгөлөг хязгаартай байх ба: 1) lim (xn ± yn) = lim xn ± lim yn , n→∞ n→∞ n→ ∞ 2) lim (xn ⋅ yn) = lim xn ⋅ lim yn. n→∞ n→∞ n→∞ Тайлбар 1. Энэ теорем аливаа тогтмол тооны гишүүн, хүчин зүйлийн хувьд үнэн. Үр дагавар. Тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдгээс хэтрүүлэн авч болно, өөрөөр хэлбэл lim (cxn) = c lim xn , n →∞ n→∞ энд c нь зарим тогтмол байна. Теорем 6. Хэрэв xn, yn хувьсагчид хязгаартай, yn ≠0, lim yn ≠ 0 бол эдгээр хувьсагчдын категори нь мөн хязгаартай бөгөөд n →∞ 10 байна.